На втором занятии летнего сложного курса по подготовке к олимпиадам и математическим турнирам мы рассмотрим тему «Конструктивы».
Теоретический блок:
- Какой-то специальной теории для этой темы маловато 🙁 Задачи, в которых нужно привести пример или построить какую-либо конструкцию связаны с самыми различными разделами математики — и комбинаторика, и алгебра, и теория чисел, и теория графов и много другое. Все ваши знания, полученные на занятиях кружках, могут пригодиться! Мы постарались найти для вас несколько источников, в которых поднимается тема построения конструкций в задачах олимпиадной математики.
- Как такое может быть? Лекция Шаповалова А. В. (Youtube)
- Книга для чтения по данной теме: А.В. Шаповалов. Как построить пример?
- Книга для чтения по данной теме: А.В. Шаповалов. Математические конструкции: от хижин к дворцам.
Читать эту же книгу онлайн: А.В. Шаповалов. Математические конструкции: от хижин к дворцам.
Задачный блок:
Все задачи в одном файле для скачивания (без подсказок): 2-uslovija-utjum-konstruktivy.pdf
Все задачи в одном файле для скачивания (c подсказками): 2-uslovija-utjum-konstruktivy-s-podskazkami.pdf
1. Синие стороны квадратов
Источник: УТЮМ-59, группа «Старт», третья лига, тур 1, задача 3.
 |
На доске 18 × 18 есть 324 единичных квадрата. Можно ли окрасить в синий цвет ровно 196 отрезков, являющихся сторонами этих квадратов, так, чтобы у каждого единичного квадрата ровно одна сторона оказалась синей? |
2. Квадратики и знаки
Источник: УТЮМ-66, группа «Старт», третья лига, тур 4, задача 3.
|
На доске в ряд нарисовано 10 квадратиков. Саша ставит между каждыми двумя соседними квадратами один из знаков «>», «<» или «+» так, что нет двух стоящих плюсов подряд. После этого Дима хочет написать в квадратики натуральные числа от 1 до 10, каждое по разу, так, чтобы все знаки неравенств стали верными. Сможет ли Саша расставить знаки так, чтобы Дима заведомо не справился с задачей? |
3. Красные диагонали стоугольника
Источник: УТЮМ-65, группа «Старт», высшая лига, тур 2, задача 5.
|
На окружности отмечено 100 точек. Каждая точка соединена с двумя соседними, так что получился стоугольник. В этом стоугольнике уже проведено 98 синих диагоналей. Петя хочет провести несколько красных диагоналей так, чтобы они не пересекались по внутренним точкам, разбивали стоугольник на треугольники и ни одна красная диагональ не совпадала с синей. Верно ли, что Петя всегда сможет это сделать? |
4. Шкафчики для 12 классов
Источник: УТЮМ-62, группа «Старт», высшая лига, тур 2, задача 4.
|
В школе есть по 1000 учеников в каждом классе от первого до двенадцатого. Также в школе есть 12000 шкафчиков, пронумерованных числами от 1 до 12000. Нужно каждому ученику выделить свой шкафчик так, чтобы для каждой пары учеников из одного класса разница номеров их шкафчиков была кратна номеру их класса. Можно ли это сделать? |
5. Детали П и Т
Источник: УТЮМ-66, младшая группа, третья лига, тур 4, задача 8.
|
У Паши есть конструктор, все детали в котором состоят из трёх палочек длины 1, в форме букв П и Т. Может ли Паша выбрать натуральное число N, взять поровну фигурок каждого вида и из такого набора деталей составить прямоугольник 2 × N, полностью разбитый на клеточки со стороной 1? Детали можно поворачивать и соединять в точках, отмеченных кружками. Палочки нельзя накладывать друг на друга. |
6. Десять чисел от 1 до 1000
Источник: УТЮМ-63, младшая группа, высшая лига, тур 1, задача 4.
Можно ли среди чисел от 1 до 1000 выбрать 10 чисел так, чтобы сумма никаких двух выбранных чисел не делилась на сумму никаких двух других выбранных чисел? Например, числа 1, 2, 4 так выбрать нельзя, потому что 1+2=3, 2+4=6, а 6 делится на 3.
7. Ровно k пар делимости
Источник: УТЮМ-62, младшая группа, высшая лига, тур 2, задача 6.
Даны натуральные числа n и k, причём k ≤ n(n−1)/2. Можно ли выбрать n различных натуральных чисел a₁, a₂, …, aₙ так, чтобы существовало ровно k пар (i, j), для которых одно из чисел aᵢ, aⱼ делится на другое?
8. Отмеченные клетки в квадрате
Источник: УТЮМ-61, младшая группа, высшая лига, тур 4, задача 2.
|
Можно ли отметить некоторые клетки квадрата 10100 × 10100 так, чтобы в любом прямоугольнике из 300 клеток было нечётное число отмеченных? |