3-4 класс. Неделя 30 (с 10 по 16 апреля). Теория.

Турниры.

Турнир — это соревнование с большим количеством участников (игроков или команд). Турниры проводятся по спортивным, военным, интеллектуальным, настольным и другим играм, по некоторым видам искусства (например, танцевальные или вокальные турниры).

Турнир состоит из поединков (партий, матчей, игр), в каждом из которых борются за победу два участника. Поединок может закончится результативно, то есть победой одного участника и проигрышем второго, или вничью.

Каждый турнир проводится по своим правилам, по своей системе. Самые известные системы турниров — олимпийская и круговая. Часто используются и смешанные системы турниров.

Олимпийская система используется при большом числе участников и ограниченном времени на проведение турнира. По этой системе проигравший в партии участник сразу выбывает из соревнований.   По такой системе проводятся турниры в боксе, теннисе.

Круговая система — самая популярная система проведения турниров. Она более справедливая, но длительная по времени. При круговой системе каждая участник встречается с каждым другим 1 раз (однокруговая система) или 2 раза (двухкруговая система). По такой системе проводятся турниры в футболе, хоккее, шахматах.

На этом занятии мы будем рассматривать задачи об однокруговых турнирах.

1. Рисуем схемы.

При решении задач о турнирах очень удобно нарисовать схему. Участников турнира изображают точками или кружочками. Если известно, что два участника сыграли между собой, то их соединяют линией.

Например, если в турнире 6 участников, то схема может выглядеть так:

Заметим, что на этих схемах не все участники соединены с остальными. Значит, если турнир однокруговой, то он еще не закончен, то есть на схеме изображен некоторый этап турнира, когда еще не все партии сыграны.

Такая схема, состоящая из кружочков, некоторые из которых соединены линиями, называется графом. Кружочки называются вершинами графа, а линии — рёбрами графа.

Если в турнире не было «ничьих», то есть в каждой партии был победитель и проигравший, то это можно изобразить на схеме стрелками, идущими от проигравшего к победителю. Такой граф называется графом со стрелками или ориентированным:

Задача 1.
В турнире по шахматам участвовали 5 детей: Аня, Боря, Ваня, Галя и Даша. Каждый участник сыграл с каждым 1 партию. Сколько всего партий было сыграно? Сколько партий сыграл каждый участник?

Решение.
Нарисуем схему, изобразив детей кружочками, а сыгранные ими партии — линиями:

Получился граф с 5 вершинами и 10 рёбрами. Каждое ребро — это партия. Значит, всего за турнир было сыграно 10 партий.
Из каждой вершины выходит 4 ребра. Значит, каждый участник сыграл 4 партии.

Можно рассуждать по-другому.
Всего участников 5, каждый из участников сыграл по 1 партии с четырьмя остальными. Значит, каждый участник сыграл 4 партии.
Если мы сложим партии, сыгранные всеми пятью участниками, то получим 5*4=20 партий. Но при этом мы посчитали каждую партию дважды, так как каждую партию играли двое человек. Значит, всего было сыграно вдвое меньше партий, то есть 20:2=10.

Ответ: всего было сыграно 10 партий, каждый участник сыграл 4 партии.

Замечание.
Рассуждая таким же образом, как в предыдущей задаче, можно прийти к следующему выводу: если в однокруговом турнире участвовало N игроков или команд, то было сыграно N*(N-1):2 партий.

Задача 2.
Саша, Миша, Паша и Лёша играли в морской бой. Каждый сыграл с каждым по одному бою. Лёша проиграл три раза, Миша проиграл два раза, а Саша выиграл два раза. Сколько всего боёв было сыграно? Сколько боёв выиграл Паша?

Решение.
Нарисуем граф, в котором вершины — это мальчики. Если один мальчик выиграл бой у второго, то проведём между соответствующими вершинами стрелку, ведущую от проигравшего к выигравшему.

Каждый мальчик сыграл с тремя остальными. Лёша проиграл 3 раза, значит, он проиграл всем своим соперникам. Изобразим это тремя стрелками, выходящими из вершины «Лёша»:

Миша проиграл 2 раза, но в вершину «Миша» одна стрелка входит (Миша выиграл у Лёши), значит, остальные две стрелки — выходят:

Саша выиграл 2 раза, и две стрелки уже входят в вершину «Саша», значит, третья стрелка — выходит:

Получился граф с 4 вершинами и 6 стрелками, в котором каждая вершина соединена с каждой. Значит, всего было сыграно 6 боёв.
В вершину «Паша» входят 3 стрелки. Значит, Паша выиграл 3 боя.

Ответ: всего было сыграно 6 боёв, Паша выиграл 3 боя.

Задача 3.
Крош, Ёжик, Бараш и Пин играли в крестики-нолики. Каждый сыграл с каждым по 1 разу. За победу в партии игроку начислялось 3 очка, за проигрыш — 0 очков, за ничью — по 1 очку каждому игроку. Все четверо игроков набрали в сумме 16 очков. Сколько было «ничьих» в этом турнире?

Решение.
Подсчитаем, сколько партий всего было сыграно. Всего игроков 4, каждый сыграл с тремя соперниками. Всего было сыграно 4*3:2=6 партий.

Заметим, что в каждой результативной партии игроки в сумме получили 3+0=3 очка, а в каждой ничейной партии — 1+1=2 очка.

Если бы все 6 партий были результативными, то игроки набрали бы в сумме 6*3=18 очков, а по условию задачи они набрали 16 очков, то есть на 2 очка меньше. «Заменим» 2 результативных партии на 2 ничейных, сумма набранных очков уменьшится на 2 и станет равна 16. Таким образом, в этом турнире было 4 результативных и 2 ничейных партии.

Ответ: 2 «ничьих».

2. Заполняем таблицы.

В однокруговых турнирах участникам за каждую партию начисляются очки. Победителем турнира становится тот, кто наберёт наибольшую сумму очков за все сыгранные партии.

Для записи очков используют турнирные таблицы. Они могут выглядеть по-разному, но обычно в них указано количество набранных очков, количество побед, проигрышей и ничейных партий для каждой команды.

Задача 4.
Команды «Стрелок», «Снайпер» и «Меткий снежок» соревновались турнире по игре в снежки. Каждая команда сыграла с каждой 1 бой. За победу в бое присуждалось 3 очка, за поражение — 0 очков, за ничью — по 1 очку каждой команде.

По результатам боёв была составлена турнирная таблица, в клетках которой было записано количество очков, которое набрала команда, указанная в строке, в бое в командой, указанной в столбце. Кроме того, в таблице было указано общее количество набранных очков, количество побед, проигрышей и ничейных партий для каждой команды. Однако некоторые записи в таблице стёрлись:

Восстановите турнирную таблицу и определите, какая команда победила в этом турнире.

Решение.
Заметим, что каждая команда в этом турнире сыграла по 2 партии.

Посмотрим на строку команды «Меткий снежок». В таблице указано, что этой командой сыграно 2 ничейных партии. Значит, все партии этой команды были ничейными, в каждой из них она заработала по 1 очку. Занесем эти данные в таблицу:

Поскольку «Меткий снежок» сыграл вничью со «Стрелком» и «Снайпером», то эти команды тоже получили в этих боях по 1 очку. Кроме того, теперь мы можем указать количество ничейных и проигранных боёв для команды «Снайпер»:

Команда «Снайпер» выиграла в одном бое, но с «Метким снежком» сыграла вничью. Значит, «Снайпер» выиграл в бое с командой «Стрелок». «Снайпер» в этом бое получил 3 очка, а «Стрелок» — 0 очков. Кроме того, теперь ясно, что команда «Стрелок» проиграла 1 бой, выиграла 0 боёв:

Очки всех команд восстановлены, подсчитаем их сумму для каждой команды:

Как видно из таблицы, наибольшее количество очков в этом турнире набрала команда «Снайпер».

Ответ: победила команда «Снайпер».