Турниры.
Турнир — это соревнование с большим количеством участников (игроков или команд). Турниры проводятся по спортивным, военным, интеллектуальным, настольным и другим играм, по некоторым видам искусства (например, танцевальные или вокальные турниры).
Турнир состоит из поединков (партий, матчей, игр), в каждом из которых борются за победу два участника. Поединок может закончится результативно, то есть победой одного участника и проигрышем второго, или вничью.
Каждый турнир проводится по своим правилам, по своей системе. Самые известные системы турниров — олимпийская и круговая. Часто используются и смешанные системы турниров.
Олимпийская система используется при большом числе участников и ограниченном времени на проведение турнира. По этой системе проигравший в партии участник сразу выбывает из соревнований. По такой системе проводятся турниры в боксе, теннисе.
Круговая система — самая популярная система проведения турниров. Она более справедливая, но длительная по времени. При круговой системе каждая участник встречается с каждым другим 1 раз (однокруговая система) или 2 раза (двухкруговая система). По такой системе проводятся турниры в футболе, хоккее, шахматах.
На этом занятии мы будем рассматривать задачи об однокруговых турнирах.
1. Рисуем схемы.
При решении задач о турнирах очень удобно нарисовать схему. Участников турнира изображают точками или кружочками. Если известно, что два участника сыграли между собой, то их соединяют линией.
Например, если в турнире 6 участников, то схема может выглядеть так:
Заметим, что на этих схемах не все участники соединены с остальными. Значит, если турнир однокруговой, то он еще не закончен, то есть на схеме изображен некоторый этап турнира, когда еще не все партии сыграны.
Такая схема, состоящая из кружочков, некоторые из которых соединены линиями, называется графом. Кружочки называются вершинами графа, а линии — рёбрами графа.
Если в турнире не было «ничьих», то есть в каждой партии был победитель и проигравший, то это можно изобразить на схеме стрелками, идущими от проигравшего к победителю. Такой граф называется графом со стрелками или ориентированным:
Задача 1.
В турнире по шахматам участвовали 5 детей: Аня, Боря, Ваня, Галя и Даша. Каждый участник сыграл с каждым 1 партию. Сколько всего партий было сыграно? Сколько партий сыграл каждый участник?
Решение.
Нарисуем схему, изобразив детей кружочками, а сыгранные ими партии — линиями:
Получился граф с 5 вершинами и 10 рёбрами. Каждое ребро — это партия. Значит, всего за турнир было сыграно 10 партий.
Из каждой вершины выходит 4 ребра. Значит, каждый участник сыграл 4 партии.
Можно рассуждать по-другому.
Всего участников 5, каждый из участников сыграл по 1 партии с четырьмя остальными. Значит, каждый участник сыграл 4 партии.
Если мы сложим партии, сыгранные всеми пятью участниками, то получим 4+4+4+4+4=20 партий. Но при этом мы посчитали каждую партию дважды, так как каждую партию играли двое человек. Значит, всего было сыграно вдвое меньше партий, то есть 10.
Ответ: всего было сыграно 10 партий, каждый участник сыграл 4 партии.
Задача 2.
Саша, Миша, Паша и Лёша играли в морской бой. Каждый сыграл с каждым по одному бою. Лёша проиграл три раза, Миша проиграл два раза, а Саша выиграл два раза. Сколько всего боёв было сыграно? Сколько боёв выиграл Паша?
Решение.
Нарисуем граф, в котором вершины — это мальчики. Если один мальчик выиграл бой у второго, то проведём между соответствующими вершинами стрелку, ведущую от проигравшего к выигравшему.
Каждый мальчик сыграл с тремя остальными. Лёша проиграл 3 раза, значит, он проиграл всем своим соперникам. Изобразим это тремя стрелками, выходящими из вершины «Лёша»:
Миша проиграл 2 раза, но в вершину «Миша» одна стрелка входит (Миша выиграл у Лёши), значит, остальные две стрелки — выходят:
Саша выиграл 2 раза, и две стрелки уже входят в вершину «Саша», значит, третья стрелка — выходит:
Получился граф с 4 вершинами и 6 стрелками, в котором каждая вершина соединена с каждой. Значит, всего было сыграно 6 боёв.
В вершину «Паша» входят 3 стрелки. Значит, Паша выиграл 3 боя.
Ответ: всего было сыграно 6 боёв, Паша выиграл 3 боя.
2. Заполняем таблицы.
В однокруговых турнирах участникам за каждую партию начисляются очки. Победителем турнира становится тот, кто наберёт наибольшую сумму очков за все сыгранные партии.
Для записи очков используют турнирные таблицы. Они могут выглядеть по-разному, но обычно в них указано количество набранных очков, количество побед, проигрышей и ничейных партий для каждой команды.
Задача 3.
Команды «Стрелок», «Снайпер» и «Меткий снежок» соревновались турнире по игре в снежки. Каждая команда сыграла с каждой 1 бой. За победу в бое присуждалось 3 очка, за поражение — 0 очков, за ничью — по 1 очку каждой команде.
Команда «Стрелок» проиграла «Снайперу», «Меткий снежок» сыграл вничью со «Снайпером» и «Стрелком». Составьте турнирную таблицу и определите, какая команда победила в этом турнире.
Решение.
Составим турнирную таблицу:
В клетке таблицы будем записывать количество очков, которое набрала команда, указанная в строке, в бое в командой, указанной в столбце.
Команда «Стрелок» проиграла «Снайперу», значит, в этом бое «Стрелок» получил 0 очков, а «Снайпер» — 3 очка:
«Снайпер» сыграл вничью с «Метким снежком», значит, в этом бое обе команды получили по 1 очку:
«Меткий снежок» сыграл вничью со «Стрелком», значит, в этом бое обе команды получили по 1 очку:
Подсчитаем сумму очков для каждой команды, а также количество побед, проигрышей и ничьих:
Как видно из таблицы, наибольшее количество очков в этом турнире набрала команда «Снайпер».
Ответ: победила команда «Снайпер».