Чётность. Одним рочерком
Сегодня мы познакомимся с понятием четность. Число называется четным, если его можно разделить на 2.
В числовом ряду четные и нечетные числа чередуются. Если мы прибавим 1 к четному числу, то получим нечетное, если прибавим 1 к нечетному, то получим четное.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Ноль – тоже четное число.
Теперь пусть у нас есть 2 четных числа. Какой будет их сумма, четной или нечетной?
Если числа четные, то значит каждое из них можно разделить на 2 равные части.
;
;
Поэтому, если мы сложим числа вместе, то сумму тоже можно будет разделить на 2 равные части. Сумма будет четной.
;
А если одно число четное, а второе нечетное? В этом случае одно число мы можем разделить на 2 равные части, а когда будем делить второе, то получим единицу в остатке.
;
;
Когда мы сложим числа, то тоже получим единицу в остатке. Сумма будет нечетной.
;
Рассмотрим теперь случай, когда оба числа нечетные.
;
;
Когда мы сложим их, то две единицы из остатков тоже сложатся вместе, и их можно будет поделить пополам. Сумма будет четной.
;
Итак, мы получили следующие правила:
Четное + Четное = Четное
Четное + Нечетное = Нечетное
Нечетное + Нечетное = Четное
Задания, в которых нам помогает четность.
На картинке несколько островов соединены мостами. Мы хотим обойти все мосты, пройдя по каждому ровно 1 раз.
;
Мы видим, что на первом рисунке мы с легкостью можем это сделать.
А здесь мы никак не сможем обойти все мосты.
На первом рисунке из каждого острова выходит четное число мостов. Поэтому, если мы по одному мосту ушли с этого острова, то по второму можем вернуться. Таким образом, мы обходим все мосты. На втором рисунке из островов Б, В, и Г выходит 3 моста, а из острова Д один мост. Когда мы дошли до острова Б, то по первому мосту мы приходим на остров, по второму уходим, по третьему опять приходим – и все, уйти мы уже не можем.
Посмотрим теперь, что будет, если «нечетных» островов будет 2.
Мы начинаем с острова Б, уходим с него, потом приходим, потом опять уходим, но возвращаться на него мы не будем. Обойдя все «четные» острова, мы придем на второй «нечетный» остров Д и там останемся. То есть, если у нас есть ровно 2 «нечетных» острова, то мы можем обойти все мосты, если нанем с одного с одного из этих островов, а закончим на втором.
Рассмотрим еще одну задачу.
Помоги рыцарю обойти замок, пройдя через каждую дверь ровно 1 раз.
По сути эта та же самая задача, что и с островами и мостами. Перерисуем схему замка, изображая комнаты кружочками, а двери отрезками.
Теперь видно, что из каждой комнаты выходит четное количество дверей, и мы можем обойти их, начиная с любой.