Комбинаторика.
На этом занятии мы продолжим учиться перебирать все варианты и способы сделать какие-то действия, а также решать задачи по комбинаторике без перебора вариантов. Для начала мы советуем вам вспомнить задачи из прошлой теории по комбинаторике (4 бесплатное занятие, сентябрь) и двинемся дальше.
Разберем вместе несколько типовых задач. Представим себе математический кружок, который состоит из 5 мальчиков и 4 девочек.
Задача 1.
Сколькими способами мы можем выбрать 1 человека, чтобы вызвать его к доске?
Решение.
9 способами – это будет 1 из 5 мальчиков или 1 из 4 девочек.
Задача 2.
Сколькими способами можно выбрать пару мальчик с девочкой?
Решение.
Сначала мы выбираем 1 мальчика – для этого есть 5 способов. Потом для каждого из этих 5 мальчиков мы можем выбрать 1 из 4 девочек. Значит всего мы можем выбрать пару 5*4=20 способами.
Задача 3.
Сколькими способами можно выбрать пару детей, чтобы один рассказывал решение первой задачи, а другой – второй?
Решение.
Сначала мы выбираем первого ребенка – для этого есть 9 способов. После этого у нас остается 8 детей ( 1 мы уже выбрали), поэтому второго ребенка мы можем выбрать 8 способами. Значит всего мы можем выбрать пару 9*8=72 способами.
Задача 4.
Сколькими способами можно выстроить всех девочек в ряд? А мальчиков?
Решение.
Сначала мы выбираем 1 девочку – для этого есть 4 способа. После этого девочек остается 3, значит вторую девочку мы выбираем 3 способами. Третью девочку – 2 способами и четвертую – одним способом. Получаем всего 4*3*2*1=24 способа.
С мальчиками то же самое, то есть поскольку их 5, получается 5*4*3*2*1=120 способов.
Задача 5.
Сколькими способами можно выбрать двоих детей на олимпиаду по математике?
Решение.
На первый взгляд эта задача такая же, как задача 3. Сначала мы выбираем первого ребенка – для этого есть 9 способов. После этого второго ребенка мы можем выбрать 8 способами. Значит всего мы можем выбрать пару 9*8=72 способами. Но рассмотрим пару, например, Вася с Петей. В задаче 3 если Петя отвечает 1 задачу, а Вася 2 или Вася 1, а Петя 2 – это разные варианты. А здесь Вася с Петей идут на олимпиаду или Петя с Васей – это одно и то же. Значит получается, что здесь каждую пару мы сосчитали 2 раза – Петя первый Вася второй и Вася первый Петя второй. Значит количество способов надо разделить на 2. Получаем 72:2=36 способов.