Обратный ход. Головы и ноги.
На этом занятии мы будем решать задачи двух видов, с которыми мы уже встречались:
- задачи, решаемые с конца;
- задачи «о головах и ногах».
1. Обратный ход.
Есть задачи, в которых по условию известен результат, и спрашивается, что же было в начале. Такие задачи удобно решать с конца. Порядок решения подробно описан в занятии 10.
Рассмотрим еще одну задачу этого вида, в которой участвуют два персонажа. Соответственно, для каждого персонажа будем рисовать свою «цепочку» решения.
Задача 1.
Крош и Ёжик решили поменяться фантиками из своих коллекций. Сначала Крош отдал Ёжику 3 синих фантика в обмен на 1 серебристый. Затем Ёжик поменял 2 своих оранжевых фантика на 4 прозрачных фантика Кроша. А потом пришла Нюша и подарила Крошу и Ёжику фантики от 8 разноцветных карамелек, поровну каждому. И теперь у Кроша и Ёжика стало по 20 фантиков. Сколько фантиков было у каждого из них до того, как они решили поменяться?
Решение.
Нарисуем схему, как происходило изменение количества фантиков у Кроша и у Ёжика. В кружочках будем писать количество фантиков на каждом шаге обмена, а над стрелочками — действия, показывающие, на сколько прибавлялось или убавлялось количество фантиков. Сначала нам известен только результат, и схема выглядит так:
Мы знаем, что перед тем, как у Кроша и Ёжика стало по 20 фантиков, им Нюша подарила 8 фантиков на двоих, разделив их поровну. То есть Нюша дала Крошу и Ёжику по 4 фантика, и у них стало по 20 фантиков. Значит, до этого у них было по 16 фантиков. Укажем это в нашей схеме:
Перед тем, как пришла Нюша, Крош отдал Ёжику 4 прозрачных фантика. Значит, у Кроша фантиков было на 4 больше, а у Ёжика на 4 меньше:
Но Крош отдал Ёжику прозрачные фантики в обмен на 2 оранжевых фантика. То есть перед тем, как случилась передача оранжевых фантиков, у Ёжика было на 2 фантика больше, а у Кроша на 2 фантика меньше:
Перед тем, как Ёжик передал Крошу 1 серебристый фантик, было такое количество фантиков:
Перед тем, как Крош отдал Ёжику 3 синих фантика, было такое количество фантиков:
И мы дошли от конца задачи к ее началу. Числа в первых кружочках — это количество фантиков у Кроша и Ёжика до начала обмена.
Ответ: У Кроша было 20 фантиков, у Ёжика — 12 фантиков.
2. Головы и ноги.
Алгоритм решения задач «о головах и ногах» подробно описан в занятии 7.
Заметим, что такие же рассуждения и последовательность действий могут применяться и при решении задач, в которых не упоминаются именно головы и ноги. Рассмотрим еще одну из таких задач.
Задача 2.
Петя участвовал в турнире по устному счёту. На этом турнире нужно было решать примеры по порядку, всего было 30 примеров. За каждый верно решенный пример начисляется 1 балл, за каждый неверно решенный — вычитается 4 штрафных балла, за каждый пропущенный пример — вычитается 2 штрафных балла. Петя набрал 14 баллов. Сколько примеров он решил правильно, сколько с ошибкой и сколько пропустил?
Решение.
Если бы Петя решил все 30 примеров правильно, то он бы набрал 30 баллов (по 1 балл за каждый пример). Это максимально возможная сумма баллов за 30 примеров.
Допустим, что Петя 1 пример решил неверно, а остальные верно. Тогда он набрал бы 29 баллов за верные примеры, но из этой суммы ему вычли бы 4 штрафных балла. То есть Петя получил бы всего 29-4=25 баллов.
Можно заметить, что каждый неверно решенный пример уменьшает максимально возможную сумму баллов на 5. Действительно, ведь в этом случае не прибавляется 1 балл и, кроме того, вычитается 4 штрафных балла.
Допустим теперь, что Петя 1 пример пропустил, а остальные решил верно. Тогда он набрал бы 29 баллов за верные примеры, но из этой суммы ему вычли бы 2 штрафных балла. То есть Петя получил бы всего 29-2=27 баллов.
Можно заметить, что каждый пропущенный пример уменьшает максимально возможную сумму баллов на 3. Действительно, ведь в этом случае не прибавляется 1 балл и, кроме того, вычитается 2 штрафных балла.
Петя в турнире набрал 14 баллов вместо максимально возможных 30. То есть максимально возможная сумма его баллов была уменьшена на 16 за счет пропущенных и неверно решенных примеров. Причем, как выше было замечено, если пример был решен неверно, то сумма баллов уменьшалась на 5, а если пример был пропущен, то сумма баллов уменьшалась на 3.
Представим 16 в виде суммы троек и пятерок: 16=3+3+5+5 — это единственный вариант такого представления. Отсюда можно сделать вывод, что максимально возможная сумма баллов Пети была дважды уменьшена на 3 и дважды — на 5. То есть Петя 2 примера пропустил и 2 примера решил неверно, а остальные 26 примеров он решил правильно.
Ответ: Петя решил правильно 26 примеров, 2 примера решил с ошибкой и 2 примера пропустил.