Обратный ход. Головы и ноги.
На этом занятии мы будем решать задачи двух видов, с которыми мы уже встречались:
- задачи, решаемые с конца;
- задачи «о головах и ногах».
1. Обратный ход.
Есть задачи, в которых по условию известен результат, и спрашивается, что же было в начале. Такие задачи удобно решать с конца. Порядок решения подробно описан в занятии 10.
Рассмотрим еще одну задачу этого вида, в которой участвуют два персонажа. Соответственно, для каждого персонажа будем рисовать свою «цепочку» решения.
Задача 1.
Крош и Ёжик решили поменяться фантиками из своих коллекций. Сначала Крош отдал Ёжику 3 синих фантика в обмен на 1 серебристый. Затем Ёжик поменял 2 своих оранжевых фантика на 4 прозрачных фантика Кроша. А потом пришла Нюша и подарила Крошу и Ёжику фантики от 8 разноцветных карамелек, поровну каждому. И теперь у Кроша и Ёжика стало по 20 фантиков. Сколько фантиков было у каждого из них до того, как они решили поменяться?
Решение.
Нарисуем схему, как происходило изменение количества фантиков у Кроша и у Ёжика. В кружочках будем писать количество фантиков на каждом шаге обмена, а над стрелочками — действия, показывающие, на сколько прибавлялось или убавлялось количество фантиков. Сначала нам известен только результат, и схема выглядит так:
Мы знаем, что перед тем, как у Кроша и Ёжика стало по 20 фантиков, им Нюша подарила 8 фантиков на двоих, разделив их поровну. То есть Нюша дала Крошу и Ёжику по 4 фантика, и у них стало по 20 фантиков. Значит, до этого у них было по 16 фантиков. Укажем это в нашей схеме:
Перед тем, как пришла Нюша, Крош отдал Ёжику 4 прозрачных фантика. Значит, у Кроша фантиков было на 4 больше, а у Ёжика на 4 меньше:
Но Крош отдал Ёжику прозрачные фантики в обмен на 2 оранжевых фантика. То есть перед тем, как случилась передача оранжевых фантиков, у Ёжика было на 2 фантика больше, а у Кроша на 2 фантика меньше:
Перед тем, как Ёжик передал Крошу 1 серебристый фантик, было такое количество фантиков:
Перед тем, как Крош отдал Ёжику 3 синих фантика, было такое количество фантиков:
И мы дошли от конца задачи к ее началу. Числа в первых кружочках — это количество фантиков у Кроша и Ёжика до начала обмена.
Ответ: У Кроша было 20 фантиков, у Ёжика — 12 фантиков.
2. Головы и ноги.
Алгоритм решения задач «о головах и ногах» подробно описан в занятии 7.
Заметим, что такие же рассуждения и последовательность действий могут применяться и при решении задач, в которых не упоминаются именно головы и ноги. Рассмотрим еще одну из таких задач.
Задача 2.
Петя участвовал в турнире по устному счёту. На этом турнире за каждый правильно решенный пример участнику прибавлялось 2 балла, а за каждый неверно решенный пример — вычитался 1 штрафной балл. Петя решил 10 примеров и набрал 11 баллов. Сколько примеров Петя решил правильно?
Решение.
Если бы Петя решил все 10 примеров правильно, то он бы набрал 20 баллов (по 2 балла за каждый пример).
Допустим, что Петя решил неверно 1 пример, а 9 верно. Тогда он набрал бы 18 баллов за верные примеры, но из этой суммы ему вычли бы 1 штрафной балл. То есть Петя получил бы всего 18-1=17 баллов.
Если бы Петя решил неверно 2 примера, а 8 верно, тогда он бы получил 16 баллов за верные примеры, но ему бы вычли 2 штрафных балла за неверные. То есть Петя получил бы 16-2=14 баллов.
Если бы Петя решил неверно 3 примера, а 7 верно, то он бы получил 14 баллов за верные примеры, но ему бы вычли 3 штрафных балла за неверные. То есть Петя получил бы 14-3=11 баллов. А это совпадает с условием задачи. Значит, Петя решил верно 7 примеров, а в 3 примерах сделал ошибку.
Замечание. Можно заметить, что каждый неверно решенный пример уменьшает максимально возможную сумму баллов на 3. Ведь при неверно решенном примере 2 балла не начисляются и, к тому же, вычитается 1 штрафной балл. Соответственно, чтобы получить 11 баллов, нужно 20 баллов (сумму за все 10 верных примеров) уменьшить на 9 баллов. А 9 баллов — это 3 раза по 3 балла. То есть неверно были решены 3 примера.
Ответ: 7 примеров.