На четвертом занятии летнего сложного курса по подготовке к олимпиадам и математическим турнирам мы поговорим о комбинаторике.
Теоретический блок:
- Краткая теоретическая сводка по базовым определениям и свойствам (текст, pdf): Теория (текст) скачать
- Теоретическая сводка по теории (Rutube, видео): факториал, число перестановок, размещений, сочетаний https://rutube.ru/video/d7504c2cdcbff9fb8ab4562a017b728c/
- Теоретическая сводка по теории (Rutube, видео): метод шаров и перегородок https://rutube.ru/video/b8f68c6435a4dcad9c895597a965a5c1/
- Книга для чтения по данной теме (текст, pdf): И.В.Яковлев. Комбинаторика — олимпиаднику. Скачать.
- Книга для чтения по данной теме (текст, pdf): Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, П.А.Виленкин Комбинаторика. Скачать.
Задачный блок:
Все задачи в одном файле для скачивания (без подсказок): 4-uslovija-utjum-kombinatorika.pdf
Все задачи в одном файле для скачивания (c подсказками): 4-uslovija-utjum-kombinatorika-s-podskazkami.pdf
1. Лампочки-кнопочки
Источник: УТЮМ-62, 6 класс, группа «Старт», третья лига, математический бой №2, задача 7.
 |
В ряд расположены 10 лампочек-кнопочек. Можно за ход одновременно нажать на три подряд расположенные лампочки. При одном таком нажатии эти три лампочки меняют своё состояние: выключенные включаются, а включенные выключаются. Сколько разных комбинаций из горящих лампочек можно получить, если в начале все лампочки выключены? |
2. Костяшки домино
Источник: УТЮМ-61, 6 класс, группа «Старт», третья лига, математический бой №4, задача 4.
|
Комплект домино состоит из 28 костяшек, на каждой из которых две цифры от 0 до 6 во всевозможных комбинациях. Старуха Шапокляк решила украсть две костяшки из полного комплекта домино, чтобы оставшиеся нельзя было выложить в цепочку по правилам домино. Сколькими способами она может это сделать? |
3. Фишки на шахматной доске
Источник: УТЮМ-65, 6 класс, группа «Старт», высшая лига, математический бой №3, задача 1.
|
В некоторых клетках шахматной доски 8 × 8 стоит по одной фишке. В каждой клетке, в которой нет фишки, записано число, равное количеству фишек в соседних с ней клетках. Клетки считаются соседними, если у них есть хотя бы одна общая вершина. Сколько существует расположений фишек, при которых сумма всех записанных чисел нечётна? |
4. Ряды, не являющиеся плохими
Источник: УТЮМ-59, 6 класс, группа «Старт», высшая лига, математический бой №4, задача 3.
|
Дано натуральное число N. Числа 1, 2, …, N выписали в некотором порядке. Назовём получившийся ряд плохим, если в нём найдутся два несоседних числа A > B такие, что между A и B стоят только числа, меньшие A и большие B. Например, ряд 3, 1, 2, 4 плохой, так как между числами 1 и 4 стоит только число 2, а оно больше 1 и меньше 4. А ряд 1, 4, 2, 3 не является плохим. Сколько существует различных рядов, не являющихся плохими? |
5. Два непересекающихся отрезка
Источник: УТЮМ-64, 7 класс, младшая группа, третья лига, математический бой №2, задача 8.
|
Отмечены 16 точек — центры клеток прямоугольника 2 × 8. Нарисованы два отрезка с концами в отмеченных точках. Эти отрезки не имеют общих точек, даже концов. Сколькими способами могут быть выбраны эти отрезки? |
6. Ладьи на шахматной доске
Источник: УТЮМ-66, 7 класс, младшая группа, третья лига, математический бой №1, задача 1.
|
На шахматной доске стоят 7 не бьющих друг друга ладей, пронумерованных числами 1, 2, 3, …, 7. Проделывается следующий процесс: сначала делается ход ладьёй с номером 1, затем ладьёй с номером 2, и так далее, в конце — ладьёй с номером 7. Причём после каждого хода ладьи по-прежнему не должны бить друг друга. После окончания процесса с ладей стираются их номера. Сколько различных расстановок ладей можно получить с помощью данного процесса из изначальной? |
7. Раскраска квадрата в четыре цвета
Источник: УТЮМ-62, 7 класс, младшая группа, высшая лига, математический бой №1, задача 4.
|
Дано натуральное число n > 1. Сколькими способами можно раскрасить клетки квадрата n × n в четыре цвета так, чтобы любые две клетки, имеющие общую сторону или вершину, были покрашены в разные цвета? Каждую клетку красим ровно в один цвет. |
8. Дрессированные котики на 2024 стульях
Источник: УТЮМ-65, 7 класс, младшая группа, высшая лига, тур 1, задача 7.
|
По кругу через равные промежутки расставлены 2024 стула, на каждом из которых сидит дрессированный котик. По команде они одновременно перепрыгивают: каждый прыгает либо на соседний справа, либо на диаметрально противоположный стул. Оказалось, что все стулья снова заняты. Найдите число способов, как такое могло произойти. |