Логика. Рыцари и лжецы.
1. Логика. Правдивые и ложные утверждения.
Логика — это раздел математики, который изучает различные утверждения и связи между ними.
Утверждение — это предложение, в котором что-то утверждается.
Например:
«Сейчас зима» — это утверждение
«Дай мне карандаш» — не утверждение.
«Который час?» — не утверждение.
Если в утверждении говорится правда, то оно называется правдивым или истинным. Если в утверждении говорится неправда, то оно называется ложным.
Например:
«Ни один бегемот в Африке не умеет говорить по-русски» — это правдивое утверждение.
«Все кошки летали на луну» — это ложное утверждение.
Некоторые утверждения всегда ложны или всегда истинны.
Например, эти утверждения всегда ложные:
«Солнце вращается вокруг Земли».
«Все медведи — рогатые».
А эти утверждения всегда истинные:
«Дважды два — четыре».
«У некоторых животных есть копыта».
Некоторые утверждения могут быть истинными или ложными в зависимости от обстоятельств, в которых они сказаны.
Например:
«Меня зовут Петя» — истинное утверждение, если его сказал Петя, и ложное, если его сказал не Петя.
«Сейчас зима» — истинное утверждение, если оно сказано зимой, и ложное, если оно сказано не зимой.
При решении логических задач нужно уметь делать логические выводы, то есть на основе утверждений задачи формулировать другие правдивые утверждения.
2. Рыцари и лжецы.
В задачах этой темы действие происходит на вымышленном острове, где живут два племени людей: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят только правду и никогда не могут солгать. А лжецы, наоборот, всегда говорят только ложь и никогда не могут сказать правду, даже если им это выгодно.
Если жителя острова спросят, кто он, что ответит рыцарь?
Рыцарь ответит: «Я — рыцарь!», так как рыцари всегда говорят только правду.
А как ответит лжец? Это удивительно, но он тоже скажет: «Я — рыцарь!», так как всегда лжет.
На самом деле, рыцари и лжецы выглядят как обычные люди, рыцари не носят доспехи, а лжецы могут и не краснеть, когда лгут.
Поэтому по внешнему виду определить, кто рыцарь, а кто лжец, невозможно.
Упражнение 1.
Может ли житель острова сказать «Я — лжец»?
Решение.
Рыцарь не может сказать, что он лжец, потому то это неправда, а он никогда не лжет.
Но если это скажет лжец, это будет правдой, а лжец никогда не говорит правду, поэтому он тоже не мог так сказать.
Значит, никакой житель острова не может сказать «Я — лжец».
Ответ: нет, не может.
Упражнение 2.
А как можно узнать, кто перед вами: рыцарь или лжец?
Решение.
Поскольку по внешнему виду рыцаря и лжеца определить невозможно, то нужно сделать так, чтобы житель острова сказал какое-нибудь утверждение.
Например, можно задать жителю вопрос.
Если он ответит правду, то он рыцарь, если соврёт, то он лжец.
Но для этого мы должны знать правдивый ответ на свой вопрос, чтобы суметь сравнить его с ответом жителя.
Например, если жителя спросить «Что ты ел сегодня на завтрак?», то любой ответ может быть как правдивым, так и ложным. Если мы не знаем точно, чем завтракал житель, то и не сможем определить, правду он сказал или ложь.
А если спросить: «Сколько будет 2+2?», то по ответу жителя легко определить, рыцарь он или лжец. Если житель скажет «Четыре», то он рыцарь, в любом другом случае — лжец.
Ответ: попросить ответить на вопрос, на который точно известен правильный ответ.
Задача 1.
Вы встретили двоих друзей, жителей острова. Первый из них сказал: «Январь — весенний месяц». Второй: «Мой друг — лжец». Кто из них кто на самом деле?
Решение.
Первый человек сказал, что январь весенний месяц. Мы знаем, что это ложное утверждение, значит, он лжец.
Второй сказал, что его друг лжец. Мы только что выяснили, что его друг действительно лжец, значит, второй человек сказал правду, значит, он рыцарь.
Ответ: первый — лжец, второй — рыцарь.
Иногда в задачах про рыцарей и лжецов участвуют шпионы или хитрецы — люди, которые могут говорить как правду, так и ложь, в зависимости от ситуации.
Это существенно усложняет задачу.
Задача 2.
Встретились шпион и рыцарь. Один из них сказал другому: «Ты — рыцарь». А второй промолчал. Кто из них рыцарь, а кто шпион?
Решение.
Предположим, что первый — рыцарь. Тогда он сказал правду и они оба рыцари, а это противоречит условию.
Значит, первый шпион, а рыцарь — второй. Таким образом, шпион в этой задаче сказал правду.
Ответ: первый — шпион, второй — рыцарь.
Замечание.
В задачах про рыцарей и лжецов может быть несколько вариантов ответов. При решении таких задач очень важно рассмотреть все возможные ситуации (кто может быть рыцарем, кто лжецом, кто хитрецом)!
Задача 3.
Встретились два жителя острова рыцарей и лжецов. Один сказал другому: «Ты — рыцарь!», второй добавил: «Мы оба рыцари!». Кем были эти двое?
Решение.
Рассмотрим четыре варианта:
- эти жители оба рыцари (РР),
- эти жители оба лжецы (ЛЛ),
- первый рыцарь, второй лжец (РЛ),
- первый лжец, второй рыцарь (ЛР).
В первом варианте (РР) нет противоречия с утверждениями жителей: оба рыцаря могли произнести эти фразы.
Во втором варианте (ЛЛ) также нет противоречия: в этом случае оба утверждения жителей будут ложью, а лжецы как раз всегда лгут.
В третьем варианте (РЛ) получим противоречие: если первый рыцарь, то он говорит правду, тогда второй тоже должен быть рыцарем, а он лжец.
В четвертом варианте (ЛР) тоже получим противоречие: если первый лжец, то он говорит неправду, тогда второй — не рыцарь, а лжец.
Таким образом, в этой задаче возможны два ответа: оба жители рыцари или оба жители лжецы.
Ответ: оба рыцари или оба лжецы.
Замечание.
В задачах про рыцарей и лжецов возможны разные способы решения. Например, в задачах 1 и 2 мы делали предположения, кем мог являться житель (или сразу это могли определить по его словам), затем по утверждению этого жителя делали выводы про второго, и так далее. А в задаче 3 мы сразу рассмотрели все возможные пары жителей и исключили те, в которых возникло противоречие со сказанными этими жителями утверждениями.