Развёртки.
1. Развёртки поверхностей фигур.
Многие люди, увлекающиеся поделками из бумаги, хорошо знакомы с развертками. Например, мы знаем, что если свернуть прямоугольный лист бумаги, то получится трубочка, а из половины круга получится конус.
Развёртка поверхности — это такая плоская фигура, из которой, если ее вырезать, свернуть или согнуть в нескольких местах, а затем склеить, получится эта поверхность.
На рисунке выше прямоугольник — это развёртка трубочки, а полукруг — это развёртка конуса.
На этом рисунке показаны развёртки поверхностей еще нескольких фигур:
Одна и та же фигура может иметь несколько разных развёрток. Например, на этом рисунке показаны две развёртки треугольной пирамиды:
В задачах этого занятия мы будем определять, какая развёртка получается из данной фигуры, и, наоборот, какая фигура получается из данной развёртки.
Задача 1.
Какая развёртка получится из такой фигуры?
Решение.
Как видно на рисунке, фигура состоит из пятиугольника и 5 треугольников.
Значит, и развёртка состоит из таких же частей.
Поэтому развертки b и c не могли быть получены из этой фигуры, а развертка a соответствует фигуре.
Ответ: развёртка а.
2. Развёртки куба.
Куб — это многогранник, состоящий из 6 одинаковых квадратных граней. Грани, которые имеют общее ребро, называются соседними или смежными. Грани, которые не имеют общих рёбер, называются противоположными. У куба три пары противоположных граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя.
Если бумажный куб разрезать по рёбрам так, что его можно будет разложить на плоскости, мы получим развёртку куба. Нетрудно догадаться, что развёртка куба состоит из 6 квадратов. Но не каждая фигура из 6 квадратов является развёрткой куба.
Посмотрите на рисунок. Из первой фигуры получится склеить кубик, а из второй нет.
У кубика всего 11 разверток:
Если потренироваться складывать кубики из разных развёрток, то можно заметить, что противоположные грани кубика на развёртке соответствуют квадратам, расположенным на одной линии через квадрат друг от друга. Например, на этой развертке одинаковым цветом закрашены квадраты, которые в кубике будут противоположными гранями:
Если в развёртке нет квадратов, расположенных на одной линии через квадрат друг от друга, то противоположные грани будут находиться на концах «зигзага»: или . Например, на этой развертке одинаковым цветом закрашены квадраты, которые в кубике будут противоположными гранями:
Для развития пространственного воображения важно научиться определять вид кубика по развёртке и, наоборот, вид развёртки по виду кубика.
Задача 2.
Из какого кубика могла получиться такая развертка?
Решение.
Из кубика 1 такая развёртка получиться не могла, так как на развёртке нет серой грани, которая есть у кубика.
Из кубика 2 такая развёртка тоже получиться не могла, так как в кубике оранжевая и красная грани соседние, а на развертке противоположные.
Из кубика 4 такая развёртка тоже получиться не могла, так как если мысленно сложить из развёртки кубик и поставить его так, чтобы передняя грань была синей, а правая красной, то верхняя грань будет голубой, а не жёлтой.
А вот из кубика 3 эта развертка могла получиться, так как если мысленно сложить из развёртки кубик и поставить его так, чтобы передняя грань была зелёной, а правая жёлтой, то нижняя грань будет красной. А так как на развертке оранжевая грань противоположна красной, то сверху будет оранжевая грань. А это соответствует кубику 3.
Замечание.
Конечно, мы видим только три грани каждого кубика. Возможно, что ни из одного из них не могла получиться эта развёртка. Но по имеющимся рисункам мы можем сделать вывод о том, что если и может получиться такая развёртка, то только из кубика 3.
Ответ: из кубика 3.