Совместная работа.
Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых речь идет о совместной деятельности нескольких персонажей.
1. Рыбаки и судаки.
Задачи этого радела кажутся очень простыми. Однако они сформулированы так, что первым в голову приходит ответ, который чаще всего оказывается неправильным. Рассмотрим классическую задачу этого типа — задачу о рыбаках и судаках.
Задача 1.
3 рыбака поймали 3 судака за 3 дня. Сколько судаков поймают 6 рыбаков за 6 дней?
Решение.
Ответ, который приходит в голову по аналогии, — 6 судаков. Но будет ли этот ответ верным? Давайте подумаем.
Если 3 рыбака за 3 дня поймали 3 судака, то за 1 день 3 рыбака поймали втрое меньше рыбы, то есть 1 судака.
А если рыбаков не 3, а 6? Тогда 6 рыбаков за 1 день поймают вдвое больше рыбы, чем 3 рыбака, то есть 2 судака.
Если 6 рыбаков за 1 день поймали 2 судака, то за 6 дней они поймают 2*6=12 судаков. Это и будет верным ответом.
Для решения таких задач очень удобно составлять таблицы. Для нашей задачи условие можно изобразить так:
Заполним все пустые клетки таблицы, рассуждая так же, как мы рассуждали выше:
Замечание. Теперь с помощью таблицы можно ответить не только на вопрос задачи, но и сказать, сколько судаков поймают 3 или 6 рыбаков за 1, 3 или 6 дней. Или, например, сколько рыбаков поймают 6 судаков за 6 дней. Или за сколько дней 6 рыбаков поймают 6 судаков.
Ответ: 12 судаков.
2. Если что-то делать вместе.
В задачах о рыбаках и судаках (и подобных им) подразумевается, что персонажи действуют с одинаковой скоростью. Например, все рыбаки ловят одинаковое количество судаков за 1 день. В этом разделе нашего занятия мы рассмотрим задачи, в которых персонажи действуют с разной скоростью.
Задача 2.
Карлсон может съесть большую банку варенья за 5 минут, а Малыш — за 20 минут. За какое время они съедят большую банку варенья вдвоем?
Решение.
Ответ, который напрашивается, — за 5+20=25 минут. Однако нужно заметить, что Малыш и Карлсон вдвоем съедят банку варенья быстрее, чем каждый из них по отдельности. То есть меньше, чем за 20 минут, и даже меньше, чем за 5 минут.
Посчитаем, сколько банок варенья съедят Малыш и Карлсон по отдельности за одно и то же время, например, за 20 минут.
За 20 минут Малыш съест 1 большую банку варенья, а Карлсон — 4 больших банки варенья (поскольку 20 минут — это 4 раза по 5 минут, а Карлсон за 5 минут съедает 1 банку варенья).
Значит, Малыш и Карлсон вместе за 20 минут съедят 1+4=5 банок варенья. Следовательно, 1 банку варенья они съедят за 20:5=4 минуты.
Ответ: за 4 минуты.