Логика.
Все математики обладают способностью логически рассуждать и делать логические выводы. На этом занятии мы продолжим решать задачи на логику.
1. Утверждения. Истина и ложь. Логические выводы.
На занятии 3 мы узнали, что такое утверждение. Утверждение – это такое предложение, в котором что-то утверждается. Если утверждение говорит правду, то оно истинное. Если утверждение говорит неправду, то оно ложное.
Некоторые утверждения всегда истинные или всегда ложные. А другие утверждения могут быть истинными или ложными в зависимости от обстоятельств, в которых они высказаны.
Например:
«В каждом месяце года не больше 31 дня» ― это утверждение всегда истинно.
«В каждом месяце года ровно 28 дней» ― это утверждение всегда ложно.
«В этом месяце ровно 28 дней» ― это утверждение истинно только в том случае, если оно говорит о феврале невисокосного года, и ложно, если говорит о другом месяце.
Чтобы решить логическую задачу, нужно уметь делать логические выводы из утверждений. То есть нужно уметь формулировать новые истинные утверждения на основе утверждений, указанных в задаче. Но не все выводы пригодятся для решения конкретной задачи, нужно выбрать существенные, влияющие на результат.
Пример.
Дано утверждение:
«В соревнованиях по бегу Вася Петров занял призовое место».
Какие логические выводы можно сделать, если считать, что это утверждение говорит правду?
Например, такие:
- «Вася Петров участвовал в соревнованиях по бегу»,
- «Среди участников соревнований по бегу был мальчик по имени Вася»,
- «Среди участников соревнований по бегу был мальчик по фамилии Петров»,
- «В соревнованиях по бегу Вася Петров занял либо 1, либо 2, либо 3 место».
Какие логические выводы можно сделать, если считать, что это утверждение говорит неправду?
Например, такие:
- «В соревнованиях по бегу Вася Петров не занял ни 1, ни 2, ни 3 места»,
- «Если среди призеров соревнований по бегу есть мальчик по имени Вася, то его фамилия не Петров»,
- «Если среди призеров соревнований по бегу есть мальчик по фамилии Петров, то его зовут не Вася».
Какой из этих выводов будет существенным, зависит от условий и вопроса задачи.
2. Строим таблицы.
Поскольку обычно в логических задачах участвует несколько персонажей, относительно которых высказываются несколько утверждений, то самая большая сложность при решении – это ничего не забыть, не перепутать, рассмотреть все возможные варианты. В этом помогает построение таблиц.
На занятии 1 мы узнали, как решать логические задачи с помощью таблиц. На этом занятии мы рассмотрим более сложные задачи:
- задачи в которых некоторые утверждения ложны и заранее неизвестно, какие.
- задачи, в которые истинность утверждения зависит от выполнения некоторого условия.
Задача 1.
Подруги Аня, Валя, Галя и Даша занимаются в четырех разных кружках: танцевальном, вокальном, театральном, художественном. Причем каждая девочка посещает только один кружок. На вопрос, кто в каком кружке занимается, девочки ответили:
Аня: «Я – в вокальном, а Даша – в театральном».
Валя: «Я – в вокальном, а Аня – в танцевальном».
Галя: «Я – в вокальном, а Даша – в художественном».
Даша: «Каждая из трех моих подруг один раз ошиблась и один раз ответила верно».
Кто в каком кружке занимается, если Даша сказала правду?
Решение.
Поскольку неизвестно, кто из девочек в каком утверждении ошибся, то мы будем делать предположения.
1) Предположим, что Аня про себя сказала правду, а про Дашу ошиблась. Построим таблицу.
По нашему предположению, Аня занимается в вокальном кружке, а Даша – не в театральном.
Ставим в таблице соответствующие «+» и «―». Не забываем, что в каждой строке и в каждом столбце будет ровно по одному «+».
Рассмотрим теперь утверждение Вали: «Я – в вокальном, а Аня – а танцевальном». По нашему предположению, Аня занимается в вокальном кружке. Значит, Валя ошиблась в своем втором утверждении, а в первом сказала правду. То есть Валя занимается в вокальном кружке. Но это невозможно, потому что в вокальном кружке занимается Аня, и все девочки занимаются в разных кружках.
Получили противоречие. Следовательно, наше предположение о высказываниях Ани неверно.
2) Значит, в утверждении Ани: «Я – в вокальном, а Даша – в театральном» первая часть ошибочная, а вторая часть верная. То есть Даша занимается в театральном кружке, а Аня – не в вокальном.
Построим таблицу, внесем «+» и «―» в соответствии с нашим выводом:
Теперь рассмотрим утверждение Вали: «Я – в вокальном, а Аня – а танцевальном». Валя могла сказать верно и про себя, и про Аню. И мы пока не можем сделать однозначный вывод, в какой части ошибка, а в какой нет.
Тогда рассмотрим утверждение Гали: «Я – в вокальном, а Даша – в художественном». Поскольку мы выяснили, что Даша занимается в театральном кружке (и поставили в таблицу «+»), то Галя ошиблась в отношении Даши, а в отношении себя сказала верно. Значит, Галя занимается в вокальном кружке. Ставим в таблицу соответствующие «+» и «―».
Возвращаемся к утверждению Вали: «Я – в вокальном, а Аня – в танцевальном». Из таблицы видно, что в вокальном кружке Валя заниматься не может. Значит, она ошиблась в утверждении относительно себя, и сказала верно относительно Ани. Аня занимается в танцевальном кружке, а Валя – не в вокальном. Заполним таблицу в соответствии с нашими выводами:
Таблица полностью заполнена, и мы можем дать ответ на вопрос задачи.
Ответ: Аня занимается в танцевальном кружке, Валя – в художественном, Галя ― в вокальном, Даша – в театральном.
Задача 2.
Миша, Петя и Егор конструируют машины. Один из них собирает реактивный самолет, другой – пожарную машину, третий – подводную лодку. Если Миша собирает самолет, то Петя – не пожарную машину. Если Егор собирает не пожарную машину, то Миша – самолет. Если Петя собирает не самолет, то Егор собирает лодку.
Кто что конструирует?
Решение.
Как и в предыдущей задаче, мы будем делать предположения.
1) Предположим, что Миша собирает самолет. Тогда, по условию задачи, Петя собирает не пожарную машину. Построим и начнем заполнять таблицу.
Как видно из таблицы, для Пети остается только один вариант – подводная лодка. Укажем это в таблице.
Теперь единственный свободный вариант для Егора – пожарная машина.
Заполнив таблицу, мы получим такой ответ: Миша собирает самолет, Петя – лодку, Егор – пожарную машину.
Но этот ответ не согласуется с условиями задачи! «Если Петя собирает не самолет, то Егор собирает лодку». Значит, наше предположение неверно.
2) Значит, Миша собирает не самолет. Тогда из утверждения «Если Егор собирает не пожарную машину, то Миша – самолет» можно сделать вывод, что Егор собирает пожарную машину. Построим таблицу.
Как видно из таблицы, для Пети остается один вариант – реактивный самолет. Тогда для Миши останется подводная лодка. Заполняем таблицу:
Получаем такой ответ: Миша собирает подводную лодку, Петя – реактивный самолет, Егор – пожарную машину.
И этот ответ не противоречит условиям задачи.
Ответ: Миша собирает подводную лодку, Петя – реактивный самолет, Егор – пожарную машину.