Логика.
Все математики обладают способностью логически рассуждать и делать логические выводы. На этом занятии мы продолжим решать задачи на логику.
1. Утверждения. Истина и ложь. Логические выводы.
На занятии 3 мы узнали, что такое утверждение. Утверждение – это такое предложение, в котором что-то утверждается. Если утверждение говорит правду, то оно истинное. Если утверждение говорит неправду, то оно ложное.
Некоторые утверждения всегда истинные или всегда ложные. А другие утверждения могут быть истинными или ложными в зависимости от обстоятельств, в которых они высказаны.
Например:
«В каждом месяце года не больше 31 дня» — это утверждение всегда истинно.
«В каждом месяце года ровно 28 дней» — это утверждение всегда ложно.
«В этом месяце ровно 28 дней» — это утверждение истинно только в том случае, если оно говорит о феврале невисокосного года, и ложно, если говорит о другом месяце.
Чтобы решить логическую задачу, нужно уметь делать логические выводы из утверждений. То есть нужно уметь формулировать новые истинные утверждения на основе утверждений, указанных в задаче. Но не все выводы пригодятся для решения конкретной задачи, нужно выбрать существенные, влияющие на результат.
Пример.
Дано утверждение:
«В соревнованиях по бегу Вася Петров занял призовое место».
Какие логические выводы можно сделать, если считать, что это утверждение говорит правду?
Например, такие:
- «Вася Петров участвовал в соревнованиях по бегу»,
- «Среди участников соревнований по бегу был мальчик по имени Вася»,
- «Среди участников соревнований по бегу был мальчик по фамилии Петров»,
- «В соревнованиях по бегу Вася Петров занял либо 1, либо 2, либо 3 место».
Какие логические выводы можно сделать, если считать, что это утверждение говорит неправду?
Например, такие:
- «В соревнованиях по бегу Вася Петров не занял ни 1, ни 2, ни 3 места»,
- «Если среди призеров соревнований по бегу есть мальчик по имени Вася, то его фамилия не Петров»,
- «Если среди призеров соревнований по бегу есть мальчик по фамилии Петров, то его зовут не Вася».
Какой из этих выводов будет существенным, зависит от условий и вопроса задачи.
2. Рисуем схемы.
Основная сложность при решении логических задач – это необходимость прочитать текст и удержать его весь в голове. Обычно в логических задачах приводятся утверждения для нескольких персонажей и их свойств. Чтобы легче справиться с этой информацией, ничего не забыть и сделать правильные выводы, бывает очень полезно нарисовать схему.
Задача 1.
Алеша, Боря и Ваня раскрашивали картинки карандашами трех цветов: красным, синим и зеленым. Алеша раскрашивал не красным и не синим, Ваня – не синим. Какой карандаш был у каждого из мальчиков?
Решение.
В этой задаче вопрос задан относительно трех мальчиков (персонажи) и трех цветов карандашей (свойства), причем каждый мальчик использовал карандаш только одного цвета и все мальчики рисовали разными карандашами.
Нарисуем схему персонажей и их свойств.
Теперь на основе утверждений задачи сделаем выводы.
«Алеша раскрашивал не красным и не синим». Вывод: Алеша раскрашивал зеленым карандашом.
Отметим это стрелкой на схеме.
«Ваня – не синим». Вывод: Ваня раскрашивал красным или зеленым. Но зеленый карандаш использовал Алеша (смотри предыдущий вывод), значит, Ваня раскрашивал красным.
Отметим это стрелкой на схеме.
Теперь по схеме видно, что для Бори остался только один карандаш – синий. Отметим это стрелкой.
Ответ: у Алеши был зеленый карандаш, у Бори – синий, у Вани – красный.
Задача 2.
Сестры Маша, Даша и Катя едят на завтрак кашу. Маша и Даша едят гречневую кашу, а Катя – рисовую. Кашу с молоком любит есть только Маша. Кто ест гречневую кашу без молока?
Решение.
В этой задаче персонажи могут обладать несколькими одинаковыми свойствами. На схеме это будет отражено стрелками, ведущими от персонажа к свойствам.
Отметим стрелками на схеме утверждения задачи.
«Маша и Даша едят гречневую кашу, а Катя – рисовую».
«Кашу с молоком любит есть только Маша». Вывод: Даша и Катя едят кашу без молока.
Чтобы найти ответ на вопрос задачи, нам нужно определить, от каких персонажей стрелки идут одновременно к свойствам «гречневая каша» и «без молока». На нашей схеме это Даша.
Ответ: гречневую кашу без молока ест Даша.
Задача 3.
Ребята решили поиграть в казаки-разбойники. Чтобы разделиться на команды, они кинули жребий. Оказалось, что в команде «Казаки» три человека, а в команде «Разбойники» два человека. Андрей и Саша в разных командах, Гена и Андрей тоже в разных, а Витя и Женя – в одной. Кто в какой команде?
Решение.
Персонажи в этой задаче – мальчики, свойства – названия команд. Поскольку из задачи неизвестно, кто в какой команде, на схеме названия команд пока не указываем.
Зато можем расставить несколько стрелок. Если Андрей и Саша в разных командах, Гена и Андрей тоже в разных, то стрелка от Андрея указывает на одну команду, а стрелки от Саши и Гены – на другую.
Поскольку Витя и Женя в одной команде, то стрелки от них будут показывать на одну и ту же команду. Во вторую команду Витю и Женю поставить нельзя, т. к. в ней уже двое ребят (Саша и Гена), а по условию задачи в командах 3 и 2 человека. Значит, вывод: Витя и Женя в первой команде.
Теперь, когда все игроки распределены по командам, мы можем сделать вывод о названиях самих команд. По условию задачи, в команде «Казаки» – 3 человека, а в команде «Разбойники» – 2 человека. Значит, первая команда на нашей схеме – это команда «Казаки», а вторая – «Разбойники».
Ответ: Андрей, Витя и Женя в команде «Казаки», Саша и Гена в команде «Разбойники».