Плюс-минус один.
На этом занятии мы разберем задачи на подсчет предметов и промежутков между предметами, на подсчет количества последовательных чисел. При неверном ходе рассуждений в таких задачах легко можно ошибиться на единицу. Использование схем и рисунков очень упрощает понимание и решение таких задач.
Предметы и промежутки между ними.
Можно заметить, что если предметы стоят в ряд, то промежутков между ними на один меньше, чем предметов. Кроме того, «сосед» справа есть для каждого предмета, кроме первого, «сосед» слева есть для каждого предмета, кроме последнего.
Если предметы стоят в круг, то промежутков между ними ровно столько же, сколько самих предметов. Кроме того, для каждого предмета есть «сосед» справа и «сосед» слева.
Задача 1.
6 девочек встали в ряд, и между каждыми двумя девочками встал один мальчик. Сколько теперь детей в ряду?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Между 6 девочками, стоящими в ряд, есть 5 промежутков, куда можно поставить мальчика. Значит, в ряду будет 5 мальчиков. 6 девочек и 5 мальчиков – всего 11 детей.
Задача 2.
6 девочек встали в круг, и между каждой девочкой и ее соседкой справа встал один мальчик. Сколько теперь детей в круге?
Решение.
Посмотрим на рисунок. У каждой из 6 девочек, стоящих в круг, есть соседка справа. Значит, промежутков, куда может встать мальчик, тоже 6. В круге будет 6 девочек и 6 мальчиков – всего 12 детей.
Распилы и разрезы.
В этих задачах нужно учитывать, является ли распиливаемый (разрезаемый) предмет прямым с двумя концами или замкнутым.
Если предмет прямой с двумя концами (полоска бумаги, бревно, палка, лента), то количество частей будет на 1 больше, чем количество разрезов. Каждый разрез увеличивает количество частей на 1.
Если предмет замкнутый (кольцо, бублик), то количество частей равно количеству разрезов. Причем, первый разрез не увеличивает количество частей, а только «размыкает» предмет.
Задача 3.
Бобры распилили березовое бревно, сделав 7 распилов. Затем каждый из получившихся чурбаков распилили еще пополам. Сколько всего получилось чурбаков? Сколько распилов сделали бобры?
Решение.
Бревно прямое. Если сделать 7 распилов (промежутков между частями), то получится 8 частей. Если каждую из 8 частей распилить пополам, то получится 16 частей. А распилов будет сделано на 1 меньше, то есть 15 распилов.
Задача 4.
Мама испекла пирог в форме кольца. Сначала она его разрезала пополам, затем каждую половину еще на 3 части. Сколько разрезов сделала мама?
Решение.
Если мама сначала разрезала пирог пополам, а затем каждую часть еще на три части, то всего получилось 6 кусков пирога. Поскольку пирог в форме кольца, то количество кусков равно количеству разрезов. Значит, мама сделала 6 разрезов.
Можно рассуждать по-другому. Чтобы разрезать кольцо пополам, нужно сделать 2 разреза. Получившиеся две части – незамкнутые, с двумя концами. Поэтому, чтобы разрезать каждую часть еще на 3 части, нужно сделать по 2 разреза каждой части. Таким образом всего будет 2+2+2=6 разрезов.
Что считаем – предметы или промежутки?
Для правильного решения задачи нужно понимать, что в каждом случае мы должны подсчитать – предметы или промежутки между ними.
Задача 5.
Кролик начал делать изгородь для своего огорода. Для этого он вкапывает в ряд столбики через каждые 50 см, между каждыми двумя столбиками приколачивает по 2 дощечки. До обеда Кролик успел сделать 2 м изгороди. Сколько на это у него ушло столбиков и дощечек?
Решение.
Расстояние между каждыми двумя столбиками – 50 см. Если изгородь получилась длиной 2 м, то в ней 4 промежутка по 50 см. Если промежутков между столбиками 4, то самих столбиков на 1 больше, то есть 5. Если на каждый промежуток использовано по 2 дощечки, то на 4 промежутка уйдет 8 дощечек. Значит, на изгородь длиной 2 м у Кролика ушло 5 столбиков и 8 дощечек.
Количество последовательных чисел.
При решении этих задач часто вычитают из большего числа меньшее, что приводит к ошибке.
Задача 6.
Матвей гостил у бабушки в деревне с 17 по 30 июня. Сколько дней Матвей был у бабушки?
Решение.
Очень часто такие задачи решают так: 30-17=13 дней. Но это неверное решение.
Посмотрим на календарь. Если бы Матвей гостил у бабушки с 1 по 30 июня, то это 30 дней. Но Матвей гостил у бабушки с 17 июня, то есть 1, 2, 3, …, 16 июня (в сумме 16 дней) он еще был в городе. Значит, из 30 дней июня нужно вычесть первые 16, получится 14 дней. Матвей гостил у бабушки 14 дней.