Блок этой недели состоит из серии задач по теме «Множества». Лекцию на эту тему и серию упражнений можно посмотреть в предыдущем занятии (неделя 15).
Вторая неделя
- Большая группа туристов поехала в европейское турне. Английским языком владело 28 человек, французский знали 13 людей, на испанском могли говорить 10, английским и французским владели 8, французским и испанским – 5, английским и испанским – 6, всеми тремя языками – двое, а 41 человек не владеет ни одним из трех языков. Сколько всего туристов?
- В каждой комнате особняка стоят букеты цветов. Всего 30 букетов роз, 20 — гвоздик и 10 — хризантем. В каждой комнате стоит хотя бы один букет, при этом в одной комнате не может быть двух букетов с одними и теми же цветами. Ровно в двух комнатах стоят одновременно и хризантемы, и гвоздики; возможно, что-то ещё. Ровно в трех комнатах — хризантемы и розы; возможно, что-то еще. Ровно в четырех комнатах — гвоздики и розы; возможно, что-то еще. Может ли в особняке быть 55 комнат? А сколько может?
- Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут 90 рублей, без второго – 85, без третьего – 80, без четвёртого – 75 рублей. Сколько денег у всех четверых вместе? Найдите количество рублей у каждого купца.
- В детский сад завезли карточки для обучения чтению: на некоторых написано «МА», на остальных — «НЯ». Каждый ребёнок взял три карточки и стал составлять из них слова. Оказалось, что слово «МАМА» могут сложить из своих карточек 20 детей, слово «НЯНЯ»— 30 детей, а слово «МАНЯ» — 40 детей. У скольких ребят все три карточки одинаковы?
- В цирк пошли мальчики и девочки. Все они были либо двоечники, либо отличники. Девочек было 18, а двоечников 12. Отличников мальчиков было столько же, сколько двоечниц девочек. Сколько учеников пошло в цирк?
- В выборах президента приняли участие все избиратели. Президент был переизбран на второй срок, причем за него проголосовало 99% малограмотного населения и 1% грамотного населения страны. Докажите, что если бы на выборы не пришло 35% грамотного населения, то президент получил бы поддержку не менее, чем от 60% числа участников выборов.
- В строку, в порядке возрастания, выписаны натуральные числа, которые делятся на 4 или на 11 (числа, делящиеся на 44, тоже выписаны). Какое число написано на 2019-м месте?
- Могут ли числа 8, 9, 10, 10, 11, 12 быть попарными суммами четырех натуральных чисел?
- Учительница дала отличнице Кате четыре различные натуральных числа. Катя написала на доске числа 43, 57 и 97 и сказала, что каждое из них является суммой каких-то трех из четырех данных ей чисел (а сумма в четвёртой тройке осталась неизвестной). Докажите, что Катя ошиблась.
- На шахматной доске 8 на 8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Докажите, что в верхней левой четверти (4 на 4) и в правой нижней четверти поровну ладей.