Площадь фигур на клетчатой плоскости.
На сегодняшнем занятии мы будем рассматривать фигуры на клетчатой плоскости, то есть на плоскости, которая разлинована вертикальными и горизонтальными линиями на равные квадраты. Такая разлиновка называется сеткой. Будем рассматривать только многоугольники, вершины которых находятся в узлах сетки, то есть в точках пересечения линий сетки.
Нас интересует, сколько клеточек плоскости занимает та или иная фигура. Будем называть эту величину площадью фигуры.
Самые простые случаи — это прямоугольники и квадраты, стороны которых совпадают с линиями сетки. В этих случаях количество клеток, которые эти фигуры занимают на плоскости, достаточно легко подсчитать: нужно количество клеток по горизонтали умножить на количество клеток по вертикали. Эта формула, скорее всего, вам уже знакома по урокам школьной математики.
Пример 1.
На рисунке представлены прямоугольник 6х3 клеточки и квадрат 4х4 клеточки.
Площадь прямоугольника равна 6*3=18 клеток, площадь квадрата равна 4*4=16 клеток.
Довольно легко подсчитать и площадь прямоугольного треугольника, то есть такого треугольника, две стороны которого совпадают с линиями сетки.
Пример 2.
На рисунке представлен треугольник, две стороны которого совпадают с линиями сетки и равны 7 и 4 клеточки. Прямо подсчитать клетки не получится, т. к. кроме целых клеток треугольник включает и их части.
Можно заметить, что этот треугольник является половиной прямоугольника 7х4 клетки, который разделили диагональю на два равных треугольника.
Следовательно, площадь треугольника будет составлять ровно половину от площади прямоугольника, то есть (7*4):2=14 клеток.
Не так просто обстоит дело, если прямоугольник или квадрат повернут относительно линий сетки. В этих случаях прямым подсчетом клеток не обойтись, так как нужно уметь подсчитывать не только целые клетки, но и их части. Однако и эта задача решаема с помощью методов, которые будут рассмотрены ниже.
Итак, мы знаем, как подсчитать:
- площадь прямоугольника, стороны которого совпадают с линиями сетки: нужно перемножить количество клеток, составляющих вертикальную и горизонтальную стороны прямоугольника,
- площадь треугольника, две стороны которого совпадают с линиями сетки: нужно перемножить количество клеток, составляющие эти стороны, и поделить пополам.
Теперь мы можем найти площадь любого многоугольника, вершины которого находятся в узлах сетки.
Для этого можно использовать метод разбиения и метод дополнения.
Рассмотрим эти методы на примерах.
Задача 1.
Найдите площадь фигуры методом разбиения.
Решение.
Метод разбиения состоит в том, что исходную фигуру мы разбиваем на более простые фигуры, площадь которых мы умеем находить: прямоугольники и треугольники, рассмотренные выше. Площадь исходной фигуры будет равна сумме площадей всех частей.
Попробуем разбить нашу фигуру на части. Возможны разные варианты разбиения, например, такие:
Очевидно, что разбиение 1 не является удобным для решения задачи, мы не знаем, как найти площадь частей.
Разбиение 2 более удобно, мы можем подсчитать площадь каждой части.
- Площадь треугольника А равна (5*4):2=10 клеток
- Площадь треугольника Б равна (9*3):2=13 с половиной клеток
- Площадь прямоугольника В равна 6*1=6 клеток
- Площадь треугольника Г равна (3*5):2=7 с половиной клеток
- Площадь треугольника Д равна (6*4):2=12 клеток
Площадь исходной фигуры равна сумме площадей частей, а именно:
10 + (13 с половиной) + 6 + (7 с половиной)+ 12 = 49 клеток.
Ответ: 49 клеток.
Задача 2.
Найдите площадь фигуры методом дополнения.
Решение.
Метод дополнения состоит в том, что исходную фигуру мы дополняем так, чтобы можно было сосчитать площадь получившейся фигуры и площади частей, которыми мы дополнили исходную фигуру.
Дополним нашу фигуру до прямоугольника:
Как видно из рисунка, чтобы найти площадь исходной фигуры, нужно из площади желтого прямоугольника вычесть пощади заштрихованных треугольников.
- Площадь желтого прямоугольника равна 4*4=16 клеток
- Площадь треугольника с косой штриховкой равна (4*4):2=8 клеток
- Площадь треугольника с шахматной штриховкой равна (1*4):2=2 клетки
Площадь исходной фигуры равна 16 — 8 — 2 = 6 клеток.
Ответ: 6 клеток.