Предметы и промежутки.
На этом занятии мы разберем задачи на подсчет предметов и промежутков между предметами, на подсчет количества последовательных чисел. При неверном ходе рассуждений в таких задачах легко можно ошибиться на единицу. Использование схем и рисунков очень упрощает понимание и решение таких задач.
1. Предметы и промежутки между ними.
Промежуток — это пространство, отделяющее один предмет от другого. Количество промежутков между предметами зависит от расположения самих предметов. Любые два предмета, разделённые промежутком, называются соседними.
Если предметы расположены в ряд (или по любой незамкнутой и не пересекающей себя линии), то промежутков между ними на один меньше, чем предметов. Действительно, в этом случае все предметы и промежутки можно разбить на пары «предмет+промежуток», кроме последнего предмета (после него нет промежутка):
Если предметы расположены по кругу (или по любой замкнутой и не пересекающей себя линии), то промежутков между ними ровно столько же, сколько самих предметов. Действительно, в этом случае все предметы и промежутки можно разбить на пары «предмет+промежуток»:
Если предметы расположены в ряд, что у первого и последнего предмета в ряду есть только по одному соседнему предмету, а у всех остальных — по два соседних. Если предметы расположены по кругу, то у каждого предмета есть два соседних с ним.
Замечание.
В задачах формулировка «между каждыми двумя соседними предметами» означает «в каждом промежутке». Иногда слово «соседними» опускается, но смысл остаётся тем же. Например, «между каждыми двумя кубиками в ряду добавили шарик»- это значит, что в каждый промежуток, разделяющий любые два соседние кубика, добавили по одному шарику.
Задача 1.
6 девочек встали в ряд, и между каждыми двумя девочками встал один мальчик. Сколько теперь детей в ряду?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Между 6 девочками, стоящими в ряд, есть 5 промежутков, куда можно поставить мальчика. Значит, в ряду будет 5 мальчиков. 6 девочек и 5 мальчиков – всего 11 детей.
Ответ: 11 детей.
Задача 2.
6 девочек встали в круг, и между каждой девочкой и ее соседкой справа встал один мальчик. Сколько теперь детей в круге?
Решение.
Посмотрим на рисунок. У каждой из 6 девочек, стоящих в круг, есть соседка справа. Значит, промежутков, куда может встать мальчик, тоже 6. В круге будет 6 девочек и 6 мальчиков – всего 12 детей.
Ответ: 12 детей.
Задача 3.
Малыш Федя построил из жёлтых и синих кубиков несколько башен. В каждой его башне синие и жёлтые кубики чередуются, нижний и верхний кубики — синие. Оказалось, что на постройку всех башен жёлтых кубиков ушло на 9 меньше, чем синих. Сколько всего башен построил Федя?
Решение.
Каждую башню можно представить в виде ряда синих кубиков, в котором между каждыми двумя синими кубиками поставлен жёлтый кубик. Значит, синих кубиков в каждой башне на 1 больше, чем жёлтых. Так как во всех башнях синих кубиков на 9 больше, чем жёлтых, то Федя построил 9 башен.
Ответ: 9 башен.
2. Распилы и разрезы.
Задачи предыдущего занятия на распиливание и разрезание тоже можно рассматривать как предметы и промежутки: распилы — это промежутки, которые мы делаем между частями.
В этих задачах нужно учитывать, является ли распиливаемый (разрезаемый) предмет прямым или замкнутым. Если предмет прямой (полоска бумаги, бревно, палка, лента), то количество частей будет на 1 больше, чем количество разрезов. Если предмет замкрутый (кольцо, бублик), то количество частей равно количеству разрезов.
Задача 4.
2 бревна распилили на 7 частей. Сколько распилов сделали?
Решение.
Бревно — это незамкнутый предмет. Когда его распиливают, получаются части, «расположенные» в ряд и разделённые промежутками (распилами). Значит, распилов нужно сделать на 1 меньше, чем хотим получить частей.
Но по условию задачи распиливали 2 бревна. Эти 2 бревна мы тоже можем расположить в ряд. При этом получается, что 1 промежуток (между бревнами) уже сделан.
Так как промежутков на 1 меньше, чем частей, то чтобы получить 7 частей, нужно сделать 6 промежутков. 1 промежуток уже есть, значит, нужно сделать еще 5 промежутков, то есть распилов. Например, так:
Ответ: 5 распилов.
Задача 5.
Мама испекла пирог в форме кольца и разрезала его на части пятью разрезами. Сколько кусков пирога получилось?
Решение.
Посмотрим на рисунок. Поскольку пирог в виде кольца, то получилось несколько кусков, расположенных по кругу. Количество разрезов – это количество «промежутков» между кусками, и оно равно количеству самих кусков. Значит, получилось 5 кусков пирога.
Ответ: 5 кусков.
3. Что считаем – предметы или промежутки?
Для правильного решения задачи нужно понимать, что в каждом случае мы должны подсчитать – предметы или промежутки между ними.
Задача 6.
Кролик начал делать изгородь для своего огорода. Для этого он вкапывает в ряд столбики через каждые 50 см, между каждыми двумя столбиками приколачивает по 2 дощечки. До обеда Кролик успел сделать 2 м изгороди. Сколько на это у него ушло столбиков и дощечек?
Решение.
Расстояние между каждыми двумя столбиками – 50 см. Если изгородь получилась длиной 2 м, то в ней 4 промежутка по 50 см. Если промежутков между столбиками 4, то самих столбиков на 1 больше, то есть 5. Если на каждый промежуток использовано по 2 дощечки, то на 4 промежутка уйдет 8 дощечек. Значит, на изгородь длиной 2 м у Кролика ушло 5 столбиков и 8 дощечек.
Ответ: 5 столбиков и 8 дощечек.
4. Количество последовательных чисел.
При решении этих задач часто вычитают из большего числа меньшее, что приводит к ошибке.
Задача 7.
Матвей гостил у бабушки в деревне с 17 по 30 июня. Сколько дней Матвей был у бабушки?
Решение.
Очень часто такие задачи решают так: 30-17=13 дней. Но это неверное решение.
Посмотрим на календарь. Если бы Матвей гостил у бабушки с 1 по 30 июня, то это 30 дней. Но Матвей гостил у бабушки с 17 июня, то есть 1, 2, 3, …, 16 июня (в сумме 16 дней) он еще был в городе. Значит, из 30 дней июня нужно вычесть первые 16, получится 14 дней. Матвей гостил у бабушки 14 дней.
Ответ: 14 дней.