Дроби.
Сегодня мы решаем задачи с дробями. В жизни это понятие встречается довольно часто и знакомо с детства каждому. Все знают, как разломать шоколадку пополам, разрезать яблоко на четвертинки, а пиццу на 8 равных частей. Эти части и есть дроби.
1. Что такое дроби?
Дробь — это число, обозначающее одну или несколько равных частей чего-нибудь целого. Части должны быть обязательно равными, иначе это будут не дроби, а просто разные части.
Если речь идёт о частях геометрической фигуры, то они должны быть равными по размеру (занимаемой площади), но могут быть не равны по форме. Например, эти фигуры разделены на равные по размеру (площади) части:
Если речь идёт о частях какого-нибудь количества предметов, то эти части должны быть равны по количеству, но могут быть не равны по составу. Например, этот набор фруктов разделен равные по количеству части:
То есть можно сказать, что дробь — это одна или несколько равных частей какого-нибудь числа (площади фигуры, количества предметов). При рассмотрении дробей не важна форма и состав частей, важно только числовое значение.
На математическом языке дробь записывается числами в два этажа через черточку:
Верхнее число называется числителем дроби, нижнее — знаменателем дроби.
Например, 
(три восьмых) торта означает три из восьми равных частей, на которые был разрезан торт. То есть торт разрезали на 8 равных кусков и взяли 3 куска — эти куски составили торта:
Ниже в таблице приведены несколько дробей, их обозначения и названия:
2. Сравнение дробей.
Если в задаче требуется сравнить некоторые части чего-нибудь целого, то в этом всегда помогут аккуратно нарисованные схемы. Кроме рисования картинок можно разрезать на части фигуры или складывать листок бумаги. Рассмотрим пример.
Задача 1.
У Миши 2 целых яблока и 2 четвертинки, а у Саши — 3 половинки и 3 четвертинки.
У кого больше?
Решение.
Нарисуем яблоки Миши и Саши:
Из рисунка видно, что у Миши на 1 четвертинку больше.
Ответ: У Миши.
3. Как найти часть от целого?
Чтобы найти часть от целого, нужно уметь выполнять деление чисел. И здесь снова помогут рисунки или наглядный материал.
Задача 2.
На прошлой неделе Катя получила в дневник 9 оценок по разным предметам. (две трети) из них — пятёрки, а остальные — четвёрки. Сколько пятёрок и сколько четвёрок получила на прошлой неделе Катя?
Решение.
Представим все оценки Кати за прошлую неделю, например, в виде прямоугольника из 9 клеток, каждая клетка — это оценка.
Разделим этот прямоугольник на 3 равные части (на рисунке части окрашены в разные цвета). В каждой части получится по 3 клетки (оценки), каждая часть — это треть всех оценок:
По условию задачи две третьих всех оценок составляют пятёрки:
А остальные — четвёрки:
Из рисунка видно, что Катя получила 6 пятёрок и 3 четвёрки.
Ответ: 6 пятёрок и 3 четвёрки.
Правило:
Чтобы найти часть от числа, которая выражена дробью, нужно это число разделить на знаменатель и умножить на числитель дроби.
Например, в задаче 2 известно, что всего оценок было 9, и из них — пятёрки. Чтобы найти количество пятёрок, нужно 9 разделить на 3 и умножить на 2. Получим 9:3*2=6 пятёрок.
4. Как найти целое, если известна его часть?
При решении таких задач нужно помнить, что целое — это 2 половины, или 3 трети, или 4 четверти, или 5 пятых и так далее. Поэтому, зная часть какой-нибудь величины, мы можем найти и целую эту величину. Рассмотрим задачу.
Задача 3.
У бабушки на полке стоят банки с вареньем. (три пятых) всех банок — это банки с вареньем из малины, и их 6 штук. Сколько всего банок с вареньем стоит на полке?
Решение.
Нарисуем 6 банок, которые составляют три пятых части от общего количества банок на полке:
Разделим это количество банок на 3 равные части и узнаем, сколько банок составляют одну пятую часть от общего количества банок на полке:
Итак, одна пятая часть от общего количества банок на полке — это 2 банки. Целое — это пять пятых частей:
Как видно из рисунка, общее количество всех банок с вареньем на полке равно 2*5=10 штук.
Ответ: 10 банок.
Правило:
Чтобы найти число по его части, нужно число, соответствующее этой части, разделить на числитель и умножить на знаменатель дроби.
Например, в задаче 3 известно, что всех банок — это 6 банок. Чтобы найти всё количество банок, нужно 6 разделить на 3 и умножить 5. Получим 6:3*5=10 банок.