3-4 класс. Неделя 3 (с 1 по 8 октября). Теория.

Логика. Таблицы.

1. Логика. Правдивые и ложные утверждения.

Логика — это раздел математики, который изучает различные утверждения и связи между ними.

Утверждение — это предложение, в котором что-то утверждается.

Например:
«Сейчас зима» — это утверждение
«Дай мне карандаш» — не утверждение.
«Который час?» — не утверждение.

Если в утверждении говорится правда, то оно называется правдивым или истинным. Если в утверждении говорится неправда, то оно называется ложным.

Например:
«Ни один бегемот в Африке не умеет говорить по-русски» — это правдивое утверждение.
«Все кошки летали на луну» — это ложное утверждение.

Некоторые утверждения всегда ложны или всегда истинны.

Например, эти утверждения всегда ложные:
«Солнце вращается вокруг Земли».
«Все медведи — рогатые».

А эти утверждения всегда истинные:
«Дважды два — четыре».
«У некоторых животных есть копыта».

Некоторые утверждения могут быть истинными или ложными в зависимости от обстоятельств, в которых они сказаны.

Например:
«Меня зовут Петя» — истинное утверждение, если его сказал Петя, и ложное, если его сказал не Петя.
«Сейчас зима» — истинное утверждение, если оно сказано зимой, и ложное, если оно сказано не зимой.

При решении логических задач нужно уметь делать логические выводы, то есть на основе утверждений задачи формулировать другие правдивые утверждения.

Задача 1.
Как известно, когда Пиноккио врет, его нос удлиняется.
Однажды Пиноккио сказал: «Сегодня будний день или суббота», и его нос немедленно вырос.
Какой на самом деле был день недели?

Решение.
Поскольку нос Пиноккио вырос, то он соврал.
Значит, «Сегодня будний день или суббота» — ложное утверждение, оно говорит неправду.
Значит, этот день был не будний и не суббота. Поскольку день не будний, то это выходной: суббота или воскресенье. Но поскольку этот день — не суббота, то остается только один вариант — воскресенье.

Ответ: воскресенье.

2. Решаем задачи с помощью таблиц.

Основная сложность при решении логических задач – это необходимость прочитать текст и удержать его весь в голове. Обычно в логических задачах приводятся утверждения для нескольких персонажей и их свойств. Чтобы легче справиться с этой информацией, ничего не забыть и сделать правильные выводы, бывает очень полезно построить таблицу.

Задача 2.
Однажды летним днём Гриша, Дима и Рома запускали воздушных змеев. Змеев мальчики сделали своими руками, и они были очень красивые, разных цветов: один красный, другой жёлтый, третий синий. Гриша запускал не красного змея, а Димин змей взлетел выше жёлтого и красного. Змея какого цвета запускал каждый из мальчиков?

Решение.
Эту задачу легко решить в уме, но мы на ее примере посмотрим, как можно построить таблицу.
В задаче присутствуют мальчики, им будут соответствовать строки таблицы, и воздушные змеи, им будут соответствовать столбцы:

Ставим в клетку таблицы «+», если этот мальчик запускал змея этого цвета, и «-«, если нет.
Так выглядит условие задачи:

Мы видим, что красный змей — не у Гриши и не у Димы, значит, его запускал Рома. Ставим «+» в соответствующей клетке. И сразу можно поставить «-» в оставшихся клетках 3-й строки, так как у Ромы других змеев быть не может:

Теперь видим, что Дима запускал не красного и не жёлтого змея, значит, у него был синий змей. Ставим «+» в соответствующей клетке. И сразу можно поставить «-» в оставшейся клетке 3-го столбца, так как синего змея больше ни у кого быть не может:

Теперь видим, что жёлтый змей не Димы и не у Ромы, значит, его запускал Гриша:

Таблица заполнена полностью, и мы можем ответить на вопрос задачи.

Ответ: у Гриши — жёлтый змей,  у Димы — синий, у Ромы — красный.

3. Когда нет определённости — делаем предположения.

С помощью таблиц можно решать и более сложные задачи:

• задачи в которых некоторые утверждения ложны и заранее неизвестно, какие.
• задачи, в которые истинность утверждения зависит от выполнения некоторого условия.

Задача 3.
Подруги Аня, Валя, Галя и Даша занимаются в четырех разных кружках: танцевальном, вокальном, театральном, художественном. Причем каждая девочка посещает только один кружок. На вопрос, кто в каком кружке занимается, девочки ответили:
Аня: «Я – в вокальном, а Даша – в театральном».
Валя: «Я – в вокальном, а Аня – в танцевальном».
Галя: «Я – в вокальном, а Даша – в художественном».
Даша: «Каждая из трех моих подруг один раз ошиблась и один раз ответила верно».
Кто в каком кружке занимается, если Даша сказала правду?

Решение.
Поскольку неизвестно, кто из девочек в каком утверждении ошибся, то мы будем делать предположения.

1) Предположим, что Аня про себя сказала правду, а про Дашу ошиблась. Построим таблицу.

По нашему предположению, Аня занимается в вокальном кружке, а Даша – не в театральном.
Ставим в таблице соответствующие «+» и «―». Не забываем, что в каждой строке и в каждом столбце будет ровно по одному «+».

Рассмотрим теперь утверждение Вали: «Я – в вокальном, а Аня – а танцевальном». По нашему предположению, Аня занимается в вокальном кружке. Значит, Валя ошиблась в своем втором утверждении, а в первом сказала правду. То есть Валя занимается в вокальном кружке. Но это невозможно, потому что в вокальном кружке занимается Аня, и все девочки занимаются в разных кружках.

Получили противоречие. Следовательно, наше предположение о высказываниях Ани неверно.

2) Значит, в утверждении Ани: «Я – в вокальном, а Даша – в театральном» первая часть ошибочная, а вторая часть верная. То есть Даша занимается в театральном кружке, а Аня – не в вокальном.

Построим таблицу, внесем «+» и «―» в соответствии с нашим выводом:

Теперь рассмотрим утверждение Вали: «Я – в вокальном, а Аня – а танцевальном». Валя могла сказать верно и про себя, и про Аню. И мы пока не можем сделать однозначный вывод, в какой части ошибка, а в какой нет.

Тогда рассмотрим утверждение Гали: «Я – в вокальном, а Даша – в художественном». Поскольку мы выяснили, что Даша занимается в театральном кружке (и поставили в таблицу «+»), то Галя ошиблась в отношении Даши, а в отношении себя сказала верно. Значит, Галя занимается в вокальном кружке. Ставим в таблицу соответствующие «+» и «―».

Возвращаемся к утверждению Вали: «Я – в вокальном, а Аня – в танцевальном». Из таблицы видно, что в вокальном кружке Валя заниматься не может. Значит, она ошиблась в утверждении относительно себя, и сказала верно относительно Ани. Аня занимается в танцевальном кружке, а Валя – не в вокальном. Заполним таблицу в соответствии с нашими выводами:

Таблица полностью заполнена, и мы можем дать ответ на вопрос задачи.

Ответ: Аня занимается в танцевальном кружке, Валя – в художественном, Галя ― в вокальном, Даша – в театральном.

Задача 4.
Миша, Петя и Егор конструируют машины. Один из них собирает реактивный самолет, другой – пожарную машину, третий – подводную лодку. Если Миша собирает самолет, то Петя – не пожарную машину. Если Егор собирает не пожарную машину, то Миша – самолет. Если Петя собирает не самолет, то Егор собирает лодку.
Кто что конструирует?

Решение.
Как и в предыдущей задаче, мы будем делать предположения.

1) Предположим, что Миша собирает самолет. Тогда, по условию задачи, Петя собирает не пожарную машину. Построим и начнем заполнять таблицу.

Как видно из таблицы, для Пети остается только один вариант – подводная лодка. Укажем это в таблице.

Теперь единственный свободный вариант для Егора – пожарная машина.

Заполнив таблицу, мы получим такой ответ: Миша собирает самолет, Петя – лодку, Егор – пожарную машину.

Но этот ответ не согласуется с условиями задачи! «Если Петя собирает не самолет, то Егор собирает лодку». Значит, наше предположение неверно.

2) Значит, Миша собирает не самолет. Тогда из утверждения «Если Егор собирает не пожарную машину, то Миша – самолет» можно сделать вывод, что Егор собирает пожарную машину. Построим таблицу.

Как видно из таблицы, для Пети остается один вариант – реактивный самолет. Тогда для Миши останется подводная лодка. Заполняем таблицу:

Получаем такой ответ: Миша собирает подводную лодку, Петя – реактивный самолет, Егор – пожарную машину.

И этот ответ не противоречит условиям задачи.

Ответ: Миша собирает подводную лодку, Петя – реактивный самолет, Егор – пожарную машину.