1 класс. Неделя 3 (с 1 по 8 октября). Теория.

Логика. Схемы и таблицы.

1. Логика. Правдивые и ложные утверждения.

Логика — это раздел математики, который изучает различные утверждения и связи между ними.

Утверждение — это предложение, в котором что-то утверждается.

Например:
«Сейчас зима» — это утверждение
«Дай мне карандаш» — не утверждение.
«Который час?» — не утверждение.

Если в утверждении говорится правда, то оно называется правдивым или истинным. Если в утверждении говорится неправда, то оно называется ложным.

Например:
«Ни один бегемот в Африке не умеет говорить по-русски» — это правдивое утверждение.
«Все кошки летали на луну» — это ложное утверждение.

Некоторые утверждения всегда ложны или всегда истинны.

Например, эти утверждения всегда ложные:
«Солнце вращается вокруг Земли».
«Все медведи — рогатые».

А эти утверждения всегда истинные:
«Дважды два — четыре».
«У некоторых животных есть копыта».

Некоторые утверждения могут быть истинными или ложными в зависимости от обстоятельств, в которых они сказаны.

Например:
«Меня зовут Петя» — истинное утверждение, если его сказал Петя, и ложное, если его сказал не Петя.
«Сейчас зима» — истинное утверждение, если оно сказано зимой, и ложное, если оно сказано не зимой.

При решении логических задач нужно уметь делать логические выводы, то есть на основе утверждений задачи формулировать другие правдивые утверждения.

Задача 1.
Как известно, когда Пиноккио врет, его нос удлиняется.
Однажды Пиноккио сказал: «Сегодня будний день или суббота», и его нос немедленно вырос.
Какой на самом деле был день недели?

Решение.
Поскольку нос Пиноккио вырос, то он соврал.
Значит, «Сегодня будний день или суббота» — ложное утверждение, оно говорит неправду.
Значит, этот день был не будний и не суббота. Поскольку день не будний, то это выходной: суббота или воскресенье. Но поскольку этот день — не суббота, то остается только один вариант — воскресенье.

Ответ: воскресенье.

2. Решаем задачи с помощью схем и таблиц.

Основная сложность при решении логических задач – это необходимость прочитать текст и удержать его весь в голове. Обычно в логических задачах приводятся утверждения для нескольких персонажей и их свойств. Чтобы легче справиться с этой информацией, ничего не забыть и сделать правильные выводы, бывает очень полезно нарисовать схему или построить таблицу.

Задача 2.
Однажды летним днём Гриша, Дима и Рома запускали воздушных змеев. Змеев мальчики сделали своими руками, и они были очень красивые, разных цветов: один красный, другой жёлтый, третий синий. Гриша запускал не красного змея, а Димин змей взлетел выше жёлтого и красного. Змея какого цвета запускал каждый из мальчиков?

Решение.

1 способ.
В этой задаче вопрос задан относительно трех мальчиков (персонажи) и трех цветов воздушных змеев(свойства), причем каждый мальчик запускал змея только одного цвета и все мальчики запускали только своего змея.
Нарисуем схему персонажей и их свойств:

Теперь на основе утверждений задачи сделаем выводы.
«Димин змей взлетел выше жёлтого и красного». Вывод: Дима запускал не жёлтого и не красного змея, а значит, синего.
Отметим это стрелкой на схеме.

«Гриша запускал не красного змея». Вывод: Гриша запускал жёлтого или синего змея. Но синего змея запускал Гриша (смотри предыдущий вывод), значит, у Гриши был жёлтый змей.
Отметим это стрелкой на схеме.

Теперь по схеме видно, что для Ромы остался только один змей — красный. Отметим это стрелкой.

Теперь по схеме мы можем ответить на вопрос задачи.

2 способ.
Эту же задачу можно решить с помощью таблицы.
В задаче присутствуют мальчики, им будут соответствовать строки таблицы, и воздушные змеи, им будут соответствовать столбцы:

Ставим в клетку таблицы «+», если этот мальчик запускал змея этого цвета, и «-«, если нет.
Так выглядит условие задачи:

Мы видим, что красный змей — не у Гриши и не у Димы, значит, его запускал Рома. Ставим «+» в соответствующей клетке. И сразу можно поставить «-» в оставшихся клетках 3-й строки, так как у Ромы других змеев быть не может:

Теперь видим, что Дима запускал не красного и не жёлтого змея, значит, у него был синий змей. Ставим «+» в соответствующей клетке. И сразу можно поставить «-» в оставшейся клетке 3-го столбца, так как синего змея больше ни у кого быть не может:

Теперь видим, что жёлтый змей не Димы и не у Ромы, значит, его запускал Гриша:

Таблица заполнена полностью, и мы можем ответить на вопрос задачи.

Ответ: у Гриши — жёлтый змей,  у Димы — синий, у Ромы — красный.

Задача 3.
Отдыхая на море, Даня, Коля, Саша, Женя и Валя решили прокатиться на надувном банане. Женя сел впереди Коли, но позади Дани. Валя и Женя сели рядом. Саша сел рядом с Валей, но не рядом с Колей. В каком порядке сели на банан ребята?

Решение.
Начнем «рассаживать» ребят в соответствии с условиями задачи.

«Женя сидит впереди Коли, но позади Дани». Значит, Женя, Коля и Даня сидят на банане в таком порядке (возможно, не рядом):

Даня          Женя          Коля

«Валя и Женя сидят рядом». Значит, возможны такие варианты (синим цветом выделен человек, которого добавляем):

1. Даня          Женя         Валя         Коля
2. Даня         Валя        Женя         Коля

«Саша сидит рядом с Валей, но не рядом с Колей».
В первом варианте Сашу посадить некуда: впереди Вали нельзя посадить, потому что Женя и Валя должны сидеть рядом, и позади Вали нельзя посадить, потому что тогда Саша окажется рядом с Колей.
Во втором варианте Сашу можно посадить только перед Валей. Тогда он будет и рядом с Валей, и не рядом с Колей. При этом все остальные условия задачи будут выполнены.

Итак, ребята сидят на банане так:

Даня         Саша          Валя         Женя         Коля

Ответ: Даня, Саша, Валя, Женя, Коля.

Задача 4.
Три модницы Ася, Алиса и Анжелика вышли прогуляться. Ася и Алиса надели брюки, а Анжелика нарядилась в платье. С сумочкой вышла только Ася. Кто был в брюках и без сумочки?

Решение.
В этой задаче персонажи могут обладать несколькими одинаковыми свойствами. На схеме это будет отражено стрелками, ведущими от персонажа к свойствам.

Отметим стрелками на схеме утверждения задачи.
«Ася и Алиса надели брюки, а Анжелика нарядилась в платье».

«С сумочкой вышла только Ася». Вывод: Алиса и Анжелика сумочки на прогулку не взяли.

Чтобы найти ответ на вопрос задачи, нам нужно определить, от каких персонажей стрелки идут одновременно к свойствам «в брюках» и «без сумочки». На нашей схеме это Алиса.

Ответ: в брюках и без сумочки была Алиса.

Задача 5.
Ребята решили поиграть в казаки-разбойники. Чтобы разделиться на команды, они кинули жребий. Оказалось, что в команде «Казаки» три человека, а в команде «Разбойники» два человека. Андрей и Саша в разных командах, Гена и Андрей тоже в разных, а Витя и Женя – в одной. Кто в какой команде?

Решение.
Персонажи в этой задаче – мальчики, свойства – названия команд. Поскольку из задачи неизвестно, кто в какой команде, на схеме названия команд пока не указываем.

Зато можем расставить несколько стрелок. Если Андрей и Саша в разных командах, Гена и Андрей тоже в разных, то стрелка от Андрея указывает на одну команду, а стрелки от Саши и Гены – на другую.

Поскольку Витя и Женя в одной команде, то стрелки от них будут показывать на одну и ту же команду. Во вторую команду Витю и Женю поставить нельзя, т. к. в ней уже двое ребят (Саша и Гена), а по условию задачи в командах 3 и 2 человека. Значит, вывод: Витя и Женя в первой команде.

Теперь, когда все игроки распределены по командам, мы можем сделать вывод о названиях самих команд. По условию задачи, в команде «Казаки» – 3 человека, а в команде «Разбойники»  – 2 человека. Значит, первая команда на нашей схеме – это команда «Казаки», а вторая – «Разбойники».

Ответ: Андрей, Витя и Женя в команде «Казаки», Саша и Гена в команде «Разбойники».