Множества-2.
На этом занятии мы продолжаем предыдущую тему «Множества». Рассмотрим еще несколько задач, при решении которых будем использовать круги Эйлера — схемы для изображения множеств.
Задача 1.
Группа детей из детского сада отправилась на праздник. Всего в группе было 10 детей, и все несли шарики или флажки. 9 детей несли воздушные шары, 6 — красочные флажки, 3 девочки были и с шарами, и с флажками. Сколько в этой группе могло быть девочек, если их больше, чем мальчиков?
Решение.
Попробуем решить эту задачу графически, с помощью схемы.
Изобразим сначала множества детей с шариками и детей с флажками:
Обозначим детей точками. Нам нужно расставить в круги 10 точек так, чтобы в первом круге было 9 точек, а во втором — 6 точек.
Поставим 9 точек в первый круг, как показано на рисунке. Тогда во второй круг мы можем поставить только 1 точку:
Если мы передвинем 5 точек из первого круга в область пересечения кругов, то количество точек в первом круге останется прежним (9), а во втором круге — увеличится (станет 6):
Таким образом, выполнены условия задачи, и мы видим, что детей, которые несли и шарики, и флажки, было 5:
Теперь добавим еще один круг — множество девочек:
Поскольку известно, что 3 девочки были и с шарами, и с флажками, то переместим в область пересечения всех трёх кругов 3 точки:
Мы получили схему, в которой выполнены все условия задачи, кроме одного: девочек на схеме меньше, чем не девочек (то есть мальчиков). Сейчас девочек 3, а мальчиков 7:
Значит, нужно переместить в множество девочек несколько точек так, чтобы точек в этом множестве стало больше. Переместить мы можем только точки из жёлтых областей, но при этом количество детей в первом и втором круге должны остаться прежними. То есть перемещать мы можем только в оранжевые области пересечения этих кругов с третьим кругом, при этом количество точек в третьем круге увеличится:
Перебрав разные варианты размещения точек в оранжевых областях, можно заметить, что количество точек в третьем круге (девочек) больше количества точек вне этого круга (мальчиков) в том случае, если в оранжевых областях находится 3, 4 или 5 точек:
Соответственно, в этих случаях количество девочек равно 6, 7 и 8.
Ответ: девочек могло быть 6, 7 или 8.
Задача 2.
10 путешественников из клуба «Первопроходец» зимой побывали в странах Южной Америки: в Эквадоре, Перу и Чили. Причём в каждой стране побывало по 5 человек. Какое максимальное количество человек могло побывать во всех трёх странах?
Решение.
В этой задаче графическое решение с расстановкой точек уже не такое удобное, так как придется перебрать много вариантов расположения точек.
Но все же круги Эйлера помогут лучше понять задачу и решить ее.
Нарисуем три круга — множества путешественников, побывавших в каждой из стран:
Нужно расставить 10 путешественников по кругам так, чтобы в каждом круге было 5 путешественников.
Сделать это можно разными способами, но заметим, что если мы сложим количество путешественников, отдельно пересчитывая их в каждом круге, то получим 5+5+5=15. При этом мы дважды посчитаем тех путешественников, кто окажется в областях пересечения ровно двух кругов (это зеленые области) и трижды — тех, кто окажется в области пересечения всех трёх кругов (это голубая область).
Обозначим число путешественников в зеленых областях (во всех вместе) буквой А, а число путешественников в голубой области буквой Б.
Тогда получим, что 10+А+2*Б=15, или А+2*Б=5.
Нам нужно выяснить, какое наибольшее количество человек побывало во всех трёх странах. То есть узнать, какому наибольшему числу может быть равно Б.
Начнём перебирать варианты:
- Б может быть равно 0, тогда А=5,
- Б может быть равно 1, тогда А=3,
- Б может быть равно 2, тогда А=1.
- Б не может быть больше 2, так как тогда не будет выполняться условие А+2*Б=5.
Значит, максимально возможное Б равно 2.
Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос: какое наибольшее количество путешественников могло побывать ровно в двух странах, ровно в одной стране?
Ответ: 2 путешественника.