Взвешивание. Часть 2.
В предыдущем занятии мы познакомились с основными правилами взвешивания на чашечных весах. Сегодня рассмотрим еще несколько задач на взвешивание.
1. Используем гири.
В предыдущих задачах мы сравнивали на весах вес двух грузов. Чтобы узнать точный вес груза в килограммах используют гири.
Гиря — это груз известного веса. Этот вес обычно указан на самой гире.
К гирям можно применять все правила взвешивания, которые мы рассматривали.
Задача 1.
Арбуз на 2 кг тяжелее дыни, а 3 дыни уравновешивают 2 арбуза. Сколько весит дыня? Сколько весит арбуз?
Решение.
Изобразим условие задачи в виде весов. Используем гирю в 2 кг:
Теперь на вторых весах заменим каждый арбуз на дыню и гирю в 2 кг. Равновесие не нарушится:
Уберём с каждой чаши весов по 2 дыни, а 2 гири заменим на 1 гирю в 4 кг:
Поскольку дыня уравновешивает гирю в 4 кг, то вес дыни — 4 кг.
Поскольку арбуз на 2 кг тяжелее дыни, то он весит 4+2=6 кг.
Ответ: дыня весит 4 кг, арбуз весит 6 кг.
2. Взвешивать можно не только вес.
Если вам понятны картинки с весами и правила взвешивания, то можно применить эти правила и в других задачах. Для этого можно предположить, что у нас есть «волшебные» весы, которые измеряют не вес предметов, а, например, их стоимость, длительность, расстояние, количество и так далее. Рассмотрим пример задачи.
Задача 2.
Груша стоит столько же, сколько 2 яблока. Что дешевле — 7 яблок или 3 груши?
Решение.
Предположим, что у нас есть чашечные весы, измеряющие стоимость грузов: чашу весов перевешивает тот груз, который стоит дороже. Изобразим условие задачи на рисунке:
Добавим теперь на левую чашу весов 2 груши, а на правую — 4 яблока. Поскольку мы добавим одинаковые по стоимости грузы на обе чаши, весы останутся в равновесии:
Если теперь на правую чашу весов мы добавим еще 1 яблоко, то правая чаша перевесит:
Значит, 3 груши стоят дешевле, чем 7 яблок.
Ответ: 3 груши.
3. Порядок взвешивания (поиск фальшивых монет).
В предыдущих задачах требовалось ответить на вопросы «Что тяжелее?», «Что легче?», «Сколько весит?». Но есть другой тип задач, в котором надо ответить на вопрос «Что и как взвесить?».
Чаще всего, это задачи о поиске фальшивых монет среди настоящих. Известно, что все монеты одинаковы по виду, но фальшивые чуть легче или чуть тяжелее настоящих. Разница в весе настолько мала, что определить ее можно только в помощью весов. В таких задачах требуется придумать алгоритм или порядок взвешиваний монет, чтобы найти фальшивые монеты как можно быстрее, за наименьшее число взвешиваний.
Задача 3.
Старик Хоттабыч наколдовал 3 монеты. Правда, настоящими оказались только две из них, а одна — фальшивая. Фальшивая монета легче настоящей, но никак не отличается от нее по внешнему виду. Как за одно взвешивание на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?
Решение.
Если бы Хоттабыч наколдовал только 2 монеты, то задача решалась бы очень легко: на одну чашу весов нужно было бы положить одну монету, на вторую — другую монету. На той чаше, которая перевесила, лежала бы настоящая монета, а на той, которая оказалась легче, — фальшивая.
Но в этой задаче 3 монеты. На первый взгляд кажется, что результатом одного взвешивания мы ничего не добьемся.
Если мы положим на одну чашу весов 2 монеты, а на другую — 1 монету, то это взвешивание не даст никакой информации о том, на какой чаше лежит фальшивая монета. Ведь две монеты в любом случае перевесят одну, будь она хоть фальшивая, хоть настоящая.
Значит, нужно на чаши весов класть одинаковое количество монет. Поэтому положим на чаши весов по одной монете, а третью отложим в сторону, она во взвешивании участвовать не будет. Сможем ли мы за одно это взвешивание определить, какая из монет фальшивая? Хорошо, если повезет, и фальшивую монету мы положим на одну из чаш весов. Тогда другая чаша перевесит, и более легкая монета будет искомой фальшивой. А если весы окажутся в равновесии? Тогда это значит, что обе монеты на весах одного веса, и это могут быть только настоящие монеты (так как фальшивая только одна). А фальшивая монета — та, которую мы отложили в сторону.
Изобразим приведенные выше рассуждения в виде схемы. Пронумеруем монеты:
Теперь возьмем любые две монеты (пусть 1 и 2) и положим их на чаши весов. Возможны три результата взвешивания:
В случае а фальшивой будет монета 1, в случае б — монета 2, в случае в — монета 3.
Ответ: Нужно положить на чаши весов по 1 монете. Если одна из монет перевесила, то вторая монета на весах — фальшивая. Если весы находятся в равновесии, то фальшивая монета — та, которая во взвешивании не участвовала.
Задача 4.
Старик Хоттабыч наколдовал 4 монеты. Правда, настоящими оказались только 3 из них, а одна — фальшивая. Фальшивая монета легче настоящей, но никак не отличается от нее по внешнему виду. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?
Решение.
Пронумеруем монеты для удобства рассуждений:
Нужно заметить, что одним взвешиванием в этом случае уже не обойтись.
Действительно, если мы положим на чаши весов по 1 монете (например, монеты 1 и 2), и весы при этом окажутся в равновесии, то фальшивой будет либо монета 3, либо монета 4. И чтобы выяснить, какая из них легче, нужно будет провести еще одно взвешивание.
Если же мы положим на чаши весов по 2 монеты (например, на одну чашу — монеты 1 и 2, а на другую — монеты 3 и 4), то фальшивая монета будет среди тех двух монет, чаша с которыми окажется легче. И снова потребуется второе взвешивание, чтобы определить, какая из этих монет легче.
Для решения этой задачи подойдут оба варианта взвешивания.
Вариант 1.
1 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 1, на вторую — монету 2.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 2;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 1;
- если весы в равновесии, то фальшивая монета 3 или 4, нужно провести еще одно взвешивание.
2 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 3, на вторую — монету 4.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 4;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 3;
- равновесия в этом случае быть не может, так как известно, что фальшивая монета все-таки есть и только одна.
Вариант 2.
1 взвешивание: на первую чашу весов кладем монеты 1 и 2, на вторую — монеты 3 и 4. Одна из чаш перевесит, так как на одной из чаш лежит фальшивая монета.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 3 или 4, нужно провести еще одно взвешивание;
2 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 3, на вторую — монету 4.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 4;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 3;
- равновесия в этом случае быть не может, так как известно, что фальшивая монета все-таки есть и только одна.
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 1 или 2, нужно провести еще одно взвешивание;
2 взвешивание: на первую чашу весов кладем монету 3, на вторую — монету 4.
- если перевесила первая чаша, то фальшивая монета 4;
- если перевесила вторая чаша, то фальшивая монета 3;
- равновесия в этом случае быть не может, так как известно, что фальшивая монета все-таки есть и только одна.