Взвешивание. Часть 2.
В предыдущем занятии мы рассматривали ситуации, когда грузы на чашах весов имеют одинаковый вес, и весы находятся в равновесии. На этом занятии мы рассмотрим задачи, в которых одна из чаш весов перевешивает другую, а также задачи, в которых используются гири.
1. Основные правила взвешивания.
Если весы находятся не в равновесии, то для них действительны те же правила взвешивания, которые мы рассматривали на предыдущем занятии. Кроме того, добавляется еще одно правило.
1. Если добавить на обе чаши или убрать с обеих чаш одинаковые по весу предметы, то положение весов не изменится.
2. Если любой предмет на весах заменить на равный ему по весу предмет (или несколько предметов), то положение весов не изменится.
3. Если удвоить грузы на обеих чашах весов, то положение весов не изменится. Если с обеих чаш весов убрать половину груза, то положение весов не изменится.
Замечание. Положение весов также не изменится, если грузы на обеих чашах утроить, удесятерить и вообще увеличить в любое число раз. Положение весов также не изменится, если на обеих чашах весов оставить треть, четверть и вообще любую часть от первоначального груза.
4. Если первый предмет тяжелее второго, а второй тяжелее третьего, то первый предмет тяжелее третьего.
Задача 1.
Собака тяжелее, чем 2 кошки, а каждая кошка тяжелее, чем 4 мышки. Кто тяжелее: собака или 7 мышек?
Решение.
Нарисуем условие задачи:
Поскольку кошка тяжелее, чем 4 мышки, то если мы заменим на первых весах каждую легкую (по сравнению с собакой) кошку на 4 еще более легких мышки, то собака перевесит их. Если мы заменим каждую из 2 кошек на 4 мышки, на весах будет 8 мышек:
А если собака тяжелее, чем 8 мышек, то, тем более, она тяжелее, чем 7 мышек.
Ответ: собака тяжелее, чем 7 мышек.
2. Используем гири.
В предыдущих задачах мы сравнивали на весах вес двух грузов. Чтобы узнать точный вес груза в килограммах используют гири.
Гиря — это груз известного веса. Этот вес обычно указан на самой гире.
К гирям можно применять все правила взвешивания, которые мы рассматривали.
Задача 2.
Арбуз на 2 кг тяжелее дыни, а 3 дыни уравновешивают 2 арбуза. Сколько весит дыня? Сколько весит арбуз?
Решение.
Изобразим условие задачи в виде весов. Используем гирю в 2 кг:
Теперь на вторых весах заменим каждый арбуз на дыню и гирю в 2 кг. Равновесие не нарушится:
Уберём с каждой чаши весов по 2 дыни, а 2 гири заменим на 1 гирю в 4 кг:
Поскольку дыня уравновешивает гирю в 4 кг, то вес дыни — 4 кг.
Поскольку арбуз на 2 кг тяжелее дыни, то он весит 4+2=6 кг.
Ответ: дыня весит 4 кг, арбуз весит 6 кг.
3. Взвешивать можно не только вес.
Если вам понятны картинки с весами и правила взвешивания, то можно применить эти правила и в других задачах. Для этого можно предположить, что у нас есть «волшебные» весы, которые измеряют не вес предметов, а, например, их стоимость, длительность, расстояние, количество и так далее. Рассмотрим пример задачи.
Задача 2.
Груша стоит столько же, сколько 2 яблока. Что дешевле — 7 яблок или 3 груши?
Решение.
Предположим, что у нас есть чашечные весы, измеряющие стоимость грузов: чашу весов перевешивает тот груз, который стоит дороже. Изобразим условие задачи на рисунке:
Добавим теперь на левую чашу весов 2 груши, а на правую — 4 яблока. Поскольку мы добавим одинаковые по стоимости грузы на обе чаши, весы останутся в равновесии:
Если теперь на правую чашу весов мы добавим еще 1 яблоко, то правая чаша перевесит:
Значит, 3 груши стоят дешевле, чем 7 яблок.
Ответ: 3 груши.