Множества.
В математике для обозначения любого набора объектов придумано универсальное слово – множество. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.
Как можно описать множество?
- Можно перечислить элементы множества.
Например, множество, состоящее из солнца, травы, домика и кошки. - Но иногда элементов слишком много, чтобы их можно было перечислить. Тогда мы можем просто назвать общий признак, который описывает элементы именно этого множества.
Например, множество звезд нашей Галактики, или множество людей на Земле, или множество всех квадратов, или множество целых чисел.
Чаще всего в задачах требуется узнать количество элементов какого-нибудь множества.
Нужно заметить, что в множестве не всегда бывает много элементов. Множество может состоять из любого количества элементов, даже из 1 или 0. Например, множество летающих пингвинов состоит из 0 элементов. Такое множество называется пустым множеством.
Множество может состоять и из бесконечного количества элементов. Например, множество всех чисел — это бесконечное множество.
1. Схемы элементов множества.
Если в задачах рассматриваются множества с небольшим количеством элементов, то при решении бывает очень удобно нарисовать схемы всех элементов множества.
Задача 1.
В магазине продавалось 8 мячей, и на каждом из них была синяя или зелёная полоса. Синие полосы были на 6 мячах, зелёные полосы — на 5 мячах. Сколько было мячей с синей и зелёной полосой одновременно?
Решение.
Изобразим схематично все 8 мячей:
Отметим 6 мячей с синими полосами:
Теперь нарисуем зелёные полосы, причём начнем рисовать с мячей без полос, потому что какая-то полоса, по условию задачи, должна быть на каждом мяче:
Из рисунка видно, что было всего 3 мяча с синей и зелёной полосой одновременно.
Ответ: 3 мяча.
Задача 2.
В магазине продавалось 8 мячей. На 6 мячах были синие полосы, на 5 мячах — зелёные полосы. Сколько могло быть мячей с синей и зелёной полосой одновременно?
Решение.
Чем эта задача отличается от предыдущей? Тем, что здесь не сказано, что на каждом мяче обязательно должна быть какая-то полоса.
Нарисуем все варианты распределения полос.
Как видно из схемы, могло быть 3, 4 или 5 мячей с двумя видами полос.
Ответ: 3, 4 или 5 мячей.
Задача 3.
В группе детского сада 10 детей. 5 детей любят манную кашу, 5 — овсяную, при этом 4 ребенка любят обе эти каши. Сколько детей не любят ни манную, ни овсяную кашу?
Решение.
Нарисуем схематично всех детей группы, их 10:
Буквой М отметим тех, кто любит манную кашу, их 5:
Теперь отметим буквой О любителей овсяной каши. Их тоже 5, причем 4 из них любят и манную кашу тоже:
Как видно из схемы, детей, которые не любят ни манную, ни овсяную кашу, — 4 человека.
Ответ: 4 детей.
2. Изображение множеств с помощью кругов.
Если в множестве много элементов, то нарисовать все их довольно трудно.
В этом случае множества удобно изображать в виде кругов-домиков, где «живут» все элементы множества.
Такое изображение множеств называется схемой Эйлера или кругами Эйлера.
Рассмотрим такой набор фигур:
Разделим все фигуры на 2 множества: множество жёлтых фигур и множество синих фигур. Для этого нарисуем два круга-домика и поместим в них фигуры:
Можно заметить, что у нас получилось распределить все фигуры по разным кругам. То есть каждая фигурка у нас оказалась элементом какого-то одного множества.
Но бывает так, что один и тот же объект принадлежит двум (и даже больше) множествам.
Попробуем фигуры из нашего набора распределить по кругам так: в один круг — все маленькие фигуры, в другой круг — все синие фигуры.
Во-первых, оказывается, что большие жёлтые фигуры не попадают ни в один из этих кругов.
Во-вторых, возникает вопрос: что делать с маленькими синими фигурами, ведь они должны быть одновременно в двух кругах?
Чтобы изобразить это на схеме, «сдвигаем» круги так, чтобы они пересекались и имели общую область, куда мы помещаем маленькие синие фигуры:
Получается, что маленькие синие фигуры являются одновременно элементами двух множеств: множества маленьких фигур и множества синих фигур. Общая область кругов называется пересечением множеств. А про маленькие синие фигуры мы говорим, что они находятся в пересечении двух множеств.
А вот большие жёлтые фигуры не являются элементами ни одного из этих множеств, поэтому остались за пределами кругов.
Давайте сосчитаем, сколько фигур поместилось в двух кругах: их 9.
Но при этом в первом круге («маленькие фигуры») находится 6 фигур, и во втором круге («синие фигуры») тоже 6 фигур.
То есть, если сложить фигуры в первом круге и фигуры во втором круге, получим 12 фигур. Как же так получается, если фигур всего 9? Откуда взялись лишние 3 фигуры?
Все просто! Когда мы складывали фигуры из двух кругов, то дважды посчитали те фигурки, которые находятся в пересечении кругов. Мы их посчитали и как элементы первого множества, и как элементы второго множества. Этих общих фигур всего 3, они и есть посчитанные лишний раз.
Важное правило, которым мы будем пользоваться при решении задач:
Допустим, что есть два множества.
В первом множестве — А элементов, во втором множестве — Б элементов.
А всего в этих двух множествах вместе — В элементов.
Если получилось так, что А + Б > В, значит, есть несколько общих элементов, которые входят и в первое множество, и во второе.
И этих общих элементов ровно столько, на сколько А + Б больше, чем В.
Решим задачи, очень похожие на задачи 1 и 3, но теперь с помощью кругов Эйлера.
Задача 4.
В магазине продавалось 20 мячей, и на каждом из них были красные или жёлтые звёзды. Красные звёзды были на 12 мячах, жёлтые звёзды — на 15 мячах. Сколько было мячей с красными и жёлтыми звёздами одновременно? А сколько было мячей только с жёлтыми звёздами? А только с красными?
Решение.
Нарисуем два круга: для мячей с красными звёздами и для мячей с жёлтыми звёздами:
В первом круге — 12 мячей, во втором — 15 мячей.
Если сложить элементы первого и второго кругов, то получим 27 мячей. Но, по условию задачи, мячей всего 20. Значит, есть 27-20=7 мячей, которые мы посчитали дважды: когда считали мячи с красными звёздами и когда считали мячи с жёлтыми звёздами. То есть на 7 мячах есть и красные, и жёлтые звезды:
Поскольку мячей с красными звёздами всего 12, но 7 из них еще и с жёлтыми звездами, то только с красными звёздами будет 12-7=5 мячей.
Поскольку мячей с жёлтыми звёздами всего 15, но 7 из них еще и с красными звездами, то только с жёлтыми звёздами будет 15-7=8 мячей.
Ответ: с красными и жёлтыми звёздами одновременно — 7 мячей, только с красными звёздами — 8 мячей, только с жёлтыми звёздами — 5 мячей.
Задача 5.
В группе детского сада 15 детей. 8 детей любят манную кашу, 7 — овсяную, при этом 6 детей любят обе эти каши. Сколько детей не любят ни манную, ни овсяную кашу?
Решение.
Нарисуем два круга: для любителей манной каши и для любителей овсяной каши:
По условию задачи, 6 детей любят и манную, и овсяную кашу, то есть находятся в пересечении кругов:
Тогда детей, которые любят только манную кашу, остается 8-6=2, а детей, которые любят только овсяную, остается 7-6=1.
Как видно из схемы, всего 2+6+1=9 детей любят хоть какой-то из двух видов каш. Поскольку в группе 15 детей, то остальные 15-9=6 детей не любят ни одну из этих каш.
Ответ: 6 детей.
Задача 6.
В одной семье все дети любят капусту, морковь или горох. 7 детей любят капусту, 6 — морковь, 5 — горох, 4 — капусту и морковь, 3 — капусту и горох, 2 — морковь и горох, а 1 любит и капусту, и горох, и морковь. Сколько детей в семье?
Решение.
Эту задачу удобно решать с помощью кругов Эйлера.
Нарисуем 3 круга: для любителей капусты, для любителей моркови и для любителей гороха:
По условию задачи, 1 из детей любит и капусту, и морковь, и горох, то есть он находится в пересечении всех трёх кругов (на рисунке эта область обозначена зелёным цветом):
Поскольку капусту и морковь любят 4 человека, но 1 из них любит все три овоща, то только капусту и морковь любят 4-1=3 человека. Они расположены в пересечении множеств «любителей капусты» и «любителей моркови», но не в пересечении всех трёх множеств (на рисунке эта область обозначена жёлтым цветом):
Аналогично, в голубой области находятся 3-1=2 человека, в сиреневой — 2-1=1 человек.
Поскольку капусту любят 7 человек, а в круге «любителей капусты» у нас уже размещено 1+3+2=6 человек, то только лишь капусту любит 7-6=1 человек (эта область обозначена оранжевым цветом):
Аналогично, в красной области расположен 6-1-3-1=1 человек,
а в синей области 5-1-2-1=1 человек:
Теперь мы можем посчитать общее количество детей в семье, сложив детей из всех областей схемы. Получается, что в семье 10 детей.
Ответ: 10 детей.
3. Другие схемы множеств.
Иногда множества удобно изображать не в виде кругов. Рассмотрим задачу.
Задача 7.
На лесной поляне собрались лисы, волки, зайцы и белки. Лис было столько же, сколько зайцев. Кого на поляне больше: хищников или серых зверей?
Решение.
В этой задаче удобно изобразить множество всех животных в виде прямоугольника, разделенного на 4 части:
Пронумеруем части: часть 1 — это волки, часть 2 — зайцы, часть 3 — лисы, часть 4 — белки.
По условию задачи части 2 и 3 равны. Но тогда сумма частей 1 и 2 равна сумме частей 1 и 3:
Сумма частей 1 и 2 — это все серые звери, сумма частей 1 и 3 — это все хищные звери. Значит, хищников на поляне столько же, сколько серых зверей.
Ответ: поровну.
Есть задачи, которые без схем решить довольно трудно. В более простых случаях можно не использовать графический метод решения, а ограничиться рассуждениями и вычислениями.