Комбинаторика.
Что такое комбинаторика и как решать задачи на эту тему, мы изучали на предыдущем занятии. На этом занятии мы продолжаем учиться перебирать все варианты и способы сделать что-либо. Напомним, что такие задачи мы решаем путём упорядоченного перебора всех вариантов, то есть перебора в каком-то определённом порядке, чтобы никакие варианты не пропустить и не посчитать лишний раз одни и те же.
Задача 1.
Сколькими способами можно дойти от красной клетки до синей, если двигаться можно только вверх и вправо?
Решение.
Будем перебирать все пути. Сначала те пути, где первый шаг будет вверх, их 3:
Теперь найдём все пути, где первый шаг делается вправо, их тоже 3:
Таким образом, всего есть 3+3=6 способов добраться от красной клетки до синей.
Ответ: 6 способами.
Замечание.
Обратите внимание, чтобы добраться из красной клетки в синюю, нужно сделать всего 2 шага вверх и 2 шага вправо в любом порядке. Чтобы найти все пути, нужно перечислить все возможные последовательности из 2 шагов вверх (В) и 2 шагов вправо (П): ВВПП, ППВВ, ВППВ, ПВВП, ВПВП, ПВПВ.
Задача 2.
Женя нарисовал много флажков, состоящих из 3 горизонтальных полосок, и теперь хочет раскрасить эти флажки. У Жени есть красный, жёлтый и зелёный фломастеры. Он хочет раскрасить каждую полоску флажка только одним цветом, и чтобы все полоски в каждом флажке были разными.
а) Сколько разных флажков получится у Жени?
б) Сколько разных флажков получится у Жени, если он не хочет, чтобы средняя полоска была жёлтой?
Решение.
а) Будем перечислять все варианты флажков, которые получатся у Жени. Сделаем это в таком порядке: сначала посчитаем флажки, у которых верхняя полоска красная. Тогда средняя и нижняя полоски будут жёлтая и зелёная или, наоборот, зелёная и жёлтая, всего 2 варианта:
Теперь посчитаем флажки, у которых верхняя полоска жёлтая, их тоже 2:
Теперь флажки, у которых верхняя полоска зелёная, их тоже 2:
Никаких других флажков получиться не может, так как мы перечислили все возможные варианты для каждого выбранного цвета верхней полоски. Таким образом, у Жени получится всего 2+2+2=6 разных флажков.
б) В этом случае задачу можно решить двумя способами.
1 способ.
Вычтем из всех найденных вариантов флажков те, в которых средняя полоска жёлтая. Таких флажков всего 2. Значит, флажков, у которых средняя полоска не жёлтая, будет 6-2=4.
2 способ.
Перечислим все варианты флажков в таком порядке: сначала те флажки, у которых средняя полоска красная, их всего 2:
Теперь те флажки, у которых средняя полоска зелёная, их тоже 2:
Таким образом, всего получится 2+2=4 разных флажка, у которых средняя полоска не жёлтая.
Ответ: а) 6 флажков, б) 4 флажка.
Задача 3.
Рита делает открытку для мамы. Она вырезала из бумаги много цветочков с четырьмя лепестками. Теперь ей нужно эти цветочки раскрасить. У Риты есть голубая и розовая краски. Каждый лепесток и серединку цветов она раскрашивает только одним цветом. Сколько разных цветочков получится у Риты?
Решение.
Посчитаем цветочки с голубой серединкой.
Сначала те, у которых все лепестки одного цвета (все голубые или все розовые, всего 2 варианта):
Теперь те, у которых три лепестка одного цвета, а один лепесток другого цвета, их тоже 2:
Теперь те, у которых 2 лепестка одного цвета и 2 лепестка другого цвета, их тоже 2:
Заметим, что все другие цветочки с голубой серединкой получатся, если повернуть какой-нибудь из перечисленных цветков. Так как все цветочки вырезаны из бумаги, лепестки у них одинаковые, и стеблей у них нет, то цветы, которые отличаются друга от друга только поворотом вокруг серединки, мы считаем одинаковыми. Поэтому других вариантов цветов с голубой серединкой нет.
Всего цветов с голубой серединкой будет 2+2+2=6. И столько же цветов будет с розовой серединкой. Значит, всего получится 6+6=12 разных цветочков.
Ответ: 12 цветочков.