Комбинаторика.
Комбинаторика — это раздел математики, который занимается подсчётом количества вариантов, способов сделать что-либо. Рассмотрим задачу.
Задача 1.
У Светы в наборе есть зеленые и оранжевые кубики. Она строит башни из двух кубиков. Сколько разных башенок Света может построить?
Решение.
Переберём все варианты башен из двух кубиков:
Получается 4 разных башенки.
Ответ: 4 башенки.
В задачах, где нам надо перебрать и посчитать все варианты, важно придумать, в каком порядке их перебирать так, чтобы ничего не пропустить. Рассмотрим пример.
Задача 2.
У Миши есть красный и жёлтый фломастеры и раскраска с одинаковыми человечками. Каждый предмет костюма человечка — кепку, кофту и брюки — Миша раскрашивает одним цветом (то есть не раскрашивает, например, брюки в красно-жёлтую полоску) и хочет, чтобы человечки отличались друг от друга. Сколько разных человечков получится у Миши?
Решение.
Попробуем раскрасить человечков так, как это делает Миша, и посчитать количество вариантов раскраски.
Если красить наугад, то легко запутаться. Придумаем, в каком порядке мы будем это делать, чтобы никакой вариант раскраски не пропустить.
Пусть сначала мы будем красить кепки только красным:
Если кофту раскрашивать красным, то брюки могут быть красными или жёлтыми. То же самое и с жёлтой кофтой:
А теперь все то же самое с желтой кепкой:
Получается всего 8 разных вариантов раскраски.
Ответ: 8 разных человечков.
Задача 3.
Из города А в город Б ведут 2 дороги. Из города Б в город В — 3 дороги. И одна дорога ведёт из города А в город В. Сколько существует разных путей из А в В?
Решение.
Нарисуем схему.
Один путь – это прямой путь из города А в город В (отмечен фиолетовым цветом):
Посчитаем, сколько разных путей ведёт из города А в город В через город Б.
Если из А в Б мы идём по синей дороге, то у нас есть 3 варианта пути в В: синий-красный, синий-оранжевый и синий-жёлтый.
Если из А в Б мы идём по зелёной дороге, то тоже 3 варианта: зелёный-красный, зелёный-оранжевый и зелёный-жёлтый.
Получаем, что из А в В через город Б ведут 6 разных путей. А вместе с прямым путём из А в В всего 7 разных путей.
Ответ: 7 путей.