Обратный ход.
На этом занятии мы будем рассматривать задачи, в которых известен результат, и спрашивается, что же было в начале. Такие задачи решаются необычным способом: мы начинаем решение не с начала, а с конца, и двигаемся в обратную сторону – от конца к началу. При этом бывает очень удобно и полезно нарисовать схему.
Задача 1.
На проводах сидели птицы. 2 из них улетело, потом 4 прилетело, и птиц стало 7. Сколько птиц было сначала?
Решение.
Нарисуем схему, как происходило изменение количества птиц на проводах. В кружочках будем писать количество птиц на каждом этапе, а над стрелочками — действия, показывающие, на сколько увеличивалось или уменьшалось количество птиц.
Сначала нам известен только результат, и схема выглядит так:
Нам нужно узнать, сколько птиц было сначала, то есть в первом кружочке. Будем двигаться от последнего кружочка к началу.
Посмотрим на предпоследний кружок. В нем было несколько птиц, затем 4 птицы прилетело, и их стало 7. Значит, в этом кружочке было 7-4=3 птицы. Отметим это на схеме:
Теперь узнаем, сколько птиц было в первом кружочке, если после того, как 2 из них улетело, стало 3 птицы. Значит, в первом кружочке было 3+2=5 птиц:
И мы получили ответ: сначала на проводах сидело 5 птиц.
Заметим, что двигаясь от конца к началу и заполняя пустые кружочки, мы совершали действия, обратные действиям над стрелками:
Ответ: 5 птиц.
Замечание.
В задачах на обратный ход очень полезно сделать проверку найденного ответа. Для этого подставляем ответ в качестве начального количества, производим все действия, указанные в задаче. Если получим тот же результат, что указан в условии, то задача решена верно.
Задача 2.
Ваня решал на доске примеры, а Маша стирала с доски те примеры, которые Ваня решил неверно.
Сначала Ваня написал несколько примеров, а Маша 2 примера стёрла.
Затем Ваня снова написал столько же примеров, а Маша снова 2 примера стёрла.
Потом Ваня еще раз написал столько же примеров, а Маша 2 примера стёрла.
После этого на доске осталось 3 примера.
Сколько примеров написал Ваня в самый первый раз?
Решение.
Эту задачу уже не так просто решить с помощью составления схемы, как в предыдущей задаче. Потому что нам неизвестно, сколько примеров каждый раз писал на доске Ваня, то есть на сколько увеличивалось количество примеров.
Но можно заметить, что Ваня и Маша три раза совершали одни и те же два действия: Ваня писал несколько примеров, а Маша 2 из них стирала. То есть в каждый из этих трёх раз на доске добавлялось одинаковое количество примеров. А поскольку за три раза примеров стало 3, то за 1 раз добавлялся 1 пример.
Мы можем изобразить эти два действия Вани и Маши в виде схемы:
Если мы найдём, какой число должно стоять в первом кружочке, то мы выясним, сколько примеров Ваня написал в самый первый раз (а также во второй, и в третий).
Ваня написал несколько примеров, Маша 2 из них стёрла, и остался 1 пример. Значит, Ваня написал 2+1=3 примера.
Ответ: 3 примера.
Задача 3.
Для новогоднего конкурса Ваня привязал на нитку несколько шоколадных конфет в ряд. Затем между каждыми двумя конфетами он привязал по карамельке. После этого между каждыми двумя конфетами привязал по одной мармеладке, и на нитке стало 9 сладостей. Сколько шоколадных конфет привязал на нитку Ваня?
Решение.
Начнем решать задачу с конца. Нарисуем схематично 9 сладостей в ряд:
Закрасим мармеладки, которые Ваня привязал последними:
Значит, до этого сладостей на нитке было 5 (на рисунке они белые). Перерисуем их:
Теперь закрасим карамельки, которые Ваня привязал до этого:
Незакрашенными остались круги, обозначающие шоколадные конфеты, которые Ваня привязал самыми первыми. Как видим, их было 3.
Ответ: 3 конфеты.
Задача 4.
Крош и Ёжик решили поменяться фантиками из своих коллекций. Сначала Крош отдал Ёжику 3 синих фантика в обмен на 1 серебристый. Затем Ёжик поменял 2 своих оранжевых фантика на 4 прозрачных фантика Кроша. А потом пришла Нюша и подарила Крошу и Ёжику фантики от 8 разноцветных карамелек, поровну каждому. И теперь у Кроша и Ёжика стало по 20 фантиков. Сколько фантиков было у каждого из них до того, как они решили поменяться?
Решение.
В этой задаче есть два персонажа, у которых меняется количество фантиков, поэтому для каждого из них мы рисуем свою схему.
Нарисуем, как происходило изменение количества фантиков у Кроша и у Ёжика. В кружочках будем писать количество фантиков на каждом шаге обмена, а над стрелочками — действия, показывающие, на сколько увеличивалось или уменьшалось количество фантиков. Сначала нам известен только результат, и схема выглядит так:
Двигаясь от последних кружочков к началу и совершая обратные действия, заполняем все пустые кружочки:
Получаем, что до начала обмена у Кроша было 20 фантиков, а у Ёжика — 12.
В задачах, в которых участвует два и более персонажей, можно использовать таблицу вместо «цепочек». Для этой задачи таблица выглядит так:
Двигаясь снизу вверх и совершая обратные действия, заполняем все пустые клетки таблицы. В первой строчке получим решение задачи:
При достаточной тренировке можно не рисовать стрелки, а производить все действия в уме.
Ответ: у Кроша — 20 фантиков, у Ёжика — 12 фантиков.