Множества.
В математике для обозначения любого набора объектов придумано универсальное слово – множество. Объекты, из которых состоит множество, называются элементами этого множества.
Как можно описать множество?
- Можно перечислить элементы множества.
Например, множество, состоящее из солнца, травы, домика и кошки. - Но иногда элементов слишком много, чтобы их можно было перечислить. Тогда мы можем просто назвать общий признак, который описывает элементы именно этого множества.
Например, множество звезд нашей Галактики, или множество людей на Земле, или множество всех квадратов, или множество целых чисел.
Чаще всего в задачах требуется узнать количество элементов какого-нибудь множества.
Нужно заметить, что в множестве не всегда бывает много элементов. Множество может состоять из любого количества элементов, даже из 1 или 0. Например, множество летающих пингвинов состоит из 0 элементов. Такое множество называется пустым множеством.
Множество может состоять и из бесконечного количества элементов. Например, множество всех чисел — это бесконечное множество.
1. Схемы элементов множества.
Если в задачах рассматриваются множества с небольшим количеством элементов, то при решении бывает очень удобно нарисовать схемы всех элементов множества.
Задача 1.
В магазине продавалось 8 мячей, и на каждом из них была синяя или зелёная полоса. Синие полосы были на 6 мячах, зелёные полосы — на 5 мячах. Сколько было мячей с синей и зелёной полосой одновременно?
Решение.
Изобразим схематично все 8 мячей:
Отметим 6 мячей с синими полосами:
Теперь нарисуем зелёные полосы, причём начнем рисовать с мячей без полос, потому что какая-то полоса, по условию задачи, должна быть на каждом мяче:
Из рисунка видно, что было всего 3 мяча с синей и зелёной полосой одновременно.
Ответ: 3 мяча.
Задача 2.
В группе детского сада 10 детей. 5 детей любят манную кашу, 5 — овсяную, при этом 4 ребенка любят обе эти каши. Сколько детей не любят ни манную, ни овсяную кашу?
Решение.
Нарисуем схематично всех детей группы, их 10:
Буквой М отметим тех, кто любит манную кашу, их 5:
Теперь отметим буквой О любителей овсяной каши. Их тоже 5, причем 4 из них любят и манную кашу тоже:
Как видно из схемы, детей, которые не любят ни манную, ни овсяную кашу, — 4 человека.
Ответ: 4 детей.
2. Изображение множеств с помощью кругов.
Если в множестве много элементов, то нарисовать все их довольно трудно.
В этом случае множества удобно изображать в виде кругов-домиков, где «живут» все элементы множества. Рассмотрим такой набор фигур:
Разделим все фигуры на 2 множества: множество жёлтых фигур и множество синих фигур. Для этого нарисуем два круга-домика и поместим в них фигуры:
Упражнение.
Самостоятельно разделите этот набор фигур:
- на множество больших фигур и множество маленьких фигур,
- на множество фигур с углами и множество фигур без углов.
Можно заметить, что у нас получилось распределить все фигуры по разным домикам. То есть каждая фигурка у нас оказалась элементом какого-то одного множества.
Но бывает так, что один и тот же объект принадлежит двум (и даже больше) множествам.
Попробуем фигуры из нашего набора распределить по домикам так: в один домик — все маленькие фигуры, в другой домик — все синие фигуры.
Во-первых, оказывается, что большие жёлтые фигуры не попадают ни в один из этих домиков.
Во-вторых, возникает вопрос: что делать с маленькими синими фигурами, ведь они должны быть одновременно в двух домиках?
Чтобы изобразить это на схеме, «сдвигаем» домики так, чтобы они пересекались и имели общую «комнату» — область, куда мы помещаем маленькие синие фигуры:
Получается, что маленькие синие фигуры являются одновременно элементами двух множеств: множества маленьких фигур и множества синих фигур. Про эти два множества можно сказать, что они пересекаются.
А вот большие жёлтые фигуры не являются элементами ни одного из этих множеств, поэтому остались за пределами домиков.
Давайте сосчитаем, сколько фигур поместилось в двух домиках: их 9.
Но при этом в первом домике («маленькие фигуры») находится 6 фигур, и во втором домике («синие фигуры») тоже 6 фигур.
То есть, если сложить фигуры в первом домике и фигуры во втором домике, получим 12 фигур. Как же так получается, если фигур всего 9? Откуда взялись лишние 3 фигуры?
Все просто! когда мы складывали фигуры из двух домиков, то дважды посчитали те фигурки, которые живут в общей «комнате». Мы их посчитали и как элементы первого множества, и как элементы второго множества. Этих общих фигур всего 3, они и есть посчитанные лишний раз.
Важное правило, которым мы будем пользоваться при решении задач:
Допустим, что есть два множества.
В первом множестве — А элементов, во втором множестве — Б элементов.
А всего в этих двух множествах вместе — В элементов.
Если получилось так, что А + Б > В, значит, есть несколько общих элементов, которые входят и в первое множество, и во второе.
И этих общих элементов ровно столько, на сколько А + Б больше, чем В.
Решим задачу, очень похожую на задачу 1, но теперь с помощью кругов-домиков.
Задача 3.
В магазине продавалось 20 мячей, и на каждом из них были красные или жёлтые звёзды. Красные звёзды были на 12 мячах, жёлтые звёзды — на 15 мячах. Сколько было мячей с красными и жёлтыми звёздами одновременно? А сколько было мячей только с жёлтыми звёздами? А только с красными?
Решение.
Нарисуем два круга: домик для мячей с красными звёздами и домик для мячей с жёлтыми звёздами:
В первом домике — 12 мячей, во втором — 15 мячей.
Если сложить элементы первого и второго домика, то получим 27 мячей. Но, по условию задачи, мячей всего 20. Значит, есть 27-20=7 мячей, которые мы посчитали дважды: когда считали мячи с красными звёздами и когда считали мячи с жёлтыми звёздами. То есть на 7 мячах есть и красные, и жёлтые звезды:
Поскольку мячей с красными звёздами всего 12, но 7 из них еще и с жёлтыми звездами, то только с красными звёздами будет 12-7=5 мячей.
Поскольку мячей с жёлтыми звёздами всего 15, но 7 из них еще и с красными звездами, то только с жёлтыми звёздами будет 15-7=8 мячей.
Ответ: с красными и жёлтыми звёздами одновременно — 7 мячей, только с красными звёздами — 8 мячей, только с жёлтыми звёздами — 5 мячей.