Предметы и промежутки.
На этом занятии мы разберем задачи на подсчёт предметов и промежутков между предметами. При решении таких задач очень помогают рисунки и схемы.
1. Предметы и промежутки между ними.
Можно заметить, что если предметы расположены в ряд, то промежутков между ними на один меньше, чем предметов. На рисунке 9 домиков расположены в ряд, и между ними 8 промежутков:
Так как после каждого домика в ряду, кроме последнего, следует промежуток, то этих домиков столько же, сколько промежутков. А вместе с последним домиком их на 1 больше, чем промежутков.
Если предметы расположены по кругу, то промежутков между ними ровно столько же, сколько самих предметов. На этом рисунке 9 домиков расположены по кругу, и между ними 9 промежутков:
Так как после каждого домика в круге следует промежуток, то домиков и промежутков поровну.
Задача 1.
Мама положила на стол 5 яблок в ряд, а Маша положила между каждыми двумя яблоками по груше. Сколько груш положила Маша?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Между 5-ю яблоками, расположенными в ряд, есть 4 промежутка, куда можно положить грушу:
Значит, Маша положила 4 груши.
Ответ: 4 груши.
Важное замечание.
Некоторые люди понимают выражение «между каждыми двумя яблоками» по другому, как показано на рисунке:
Это неверно, ведь в этом случае груши расположены НЕ между каждыми двумя яблоками: между 1-м и 2-м яблоками и между 3-м и 4-м яблоками груш нет.
Задача 2.
Папа положил на блюдо 5 яблок по кругу, а Ваня положил между каждыми двумя яблоками по груше. Сколько груш положил Ваня?
Решение.
Посмотрим на рисунок:
Между 5-ю яблоками, расположенными по кругу, есть 5 промежутков, куда можно положить грушу:
Значит, Ваня положил 5 груш.
Ответ: 5 груш.
Задача 3.
Катя собирала в лесу ягоды и нанизывала их на травинки так, чтобы между каждыми двумя ягодами черники была ягода земляники. Катя сделала 3 такие цепочки из ягод. Она пересчитала все ягодки черники в цепочках, и их оказалось 10. А сколько ягод земляники?
Решение.
1 способ.
Так как на травинке ягоды расположены в ряд, а землянички расположены между каждыми двумя черничками, то на одной травинке черничек на 1 больше, чем земляничек. На второй травинке тоже черничек на 1 больше, чем земляничек. И на третьей травинке так же.
Значит, в на трёх травинках вместе черничек на 1+1+1=3 больше, чем земляничек. Черничек Катя насчитала 10, тогда земляничек было 10-3=7.
2 способ.
Предположим, что Катя нанизала все ягоды на одну травинку. Если черничек 10, то земляничек на 1 меньше, то есть 9:
Но Катя сделала 3 цепочки. Как одну травинку превратить в три? Нужно убрать любые 2 землянички и разрезать травинку 2 раза:
Так как 2 землянички мы убрали, то осталось 9-2=7 земляничек на трёх травинках.
Ответ: 7 ягод земляники.
2. Что считаем – предметы или промежутки?
Для правильного решения задачи нужно понимать, что в каждом случае мы должны подсчитать – предметы или промежутки между ними.
Задача 7.
Если Карлсон съест 6 конфет, то он сможет взлететь с 1-го до 3-го этажа, а дальше топливо кончится. Сколько конфет нужно съесть Карлсону, чтобы взлететь с 1-го до 5-го этажа?
Решение.
Неверное решение:
Если для подъёма на 3-й этаж Карлсону нужно съесть 6 конфет, значит, на 1 этаж тратится 2 конфеты. Поэтому, чтобы подняться на 5-й этаж, ему нужно съесть 5 раз по 2 конфеты, то есть 10 конфет.
В данном случае мы считали этажи (предметы), что привело к ошибке.
Верное решение:
Посмотрим на рисунок:
Чтобы подняться с 1-го до 3-го этажа, Карлсону нужно пролететь расстояние с 1-го до 2-го этажа и такое же расстояние со 2-го этажа до 3-го, то есть 2 одинаковых промежутка. Так на на 2 промежутка он тратит 6 конфет, то на 1 такой промежуток он потратит 3 конфеты.
Чтобы подняться с 1-го до 5-го этажа, Карлсону нужно пролететь 4 таких промежутка. Значит, ему потребуется для этого съесть 4 раза по 3 конфеты, то есть 12 конфет.
Ответ: 12 конфет.