Множества.
В математике для обозначения любого набора объектов придумано универсальное слово – множество. Как можно описать множество? Во-первых, можно перечислить его элементы. Например, множество, состоящее из солнца, травы, домика и кошки. Но иногда элементов слишком много, чтобы их можно было перечислить. Тогда мы можем просто назвать общий признак, который описывает элементы именно этого множества. Например, множество звезд нашей Галактики или множество людей на Земле или множество всех квадратов или множество целых чисел.
На этом занятии мы будем изображать множества как круги-домики, где живут все элементы множества. Посмотрим на такой набор фигур.
Мы хотим «рассадить» их по двум множествам. Зеленый круг будет множеством зеленых фигур, а синий – множеством квадратов.
А теперь добавим в наш набор еще одну фигуру – зеленый квадрат. Он должен быть и в зеленом круге, потому что он зеленый, и в синем, потому что он квадрат. Сдвинем круги как на картинке.
Теперь мы можем положить зеленый квадрат так, что он будет одновременно и в зеленом и в синем круге.
Область, где он находится, называется пересечением кругов, а про сам квадрат мы говорим, что он находится в пересечении двух множеств – множества зеленых фигур и множества квадратов.
Задача 1.
В магазине продавалось 8 мячей и на каждом из них была или синяя или зеленая полоса. Синие полосы были на 6 мячах, зеленые полосы на 5 мячах. Сколько было мячей с синей и зеленой полосой одновременно.
Решение.
Сначала нарисуем на мячах синие полосы.
Теперь нарисуем зеленые, причем начнем рисовать с мячей без полос, потому что какая-то полоса по условию должна быть на каждом мяче.
На рисунке видно, что мячей с двумя видами полос у нас 3.
Нарисуем диаграмму с кругами, соответствующую нашей задаче.
Обратим теперь внимание на такой факт. Если мы сложим 6 мячей с синими полосами и 5 мячей с зелеными полосами, то получим 6+5=11. Но на самом деле у нас 8 мячей. Почему так получилось? Потому что те мячи, которые находятся в пересечении, мы посчитали 2 раза – сначала когда считали мячи с синими полосами, потом – с зелеными. Таких мячей 3, поэтому при сложении результат получился на 3 больше. Посмотрим теперь, как можно решить эту задачу, не рисуя мячи.
6+5=11. 11 на 3 больше, чем 8, значит 3 мяча мы посчитали дважды. Значит, получаем 3 мяча с синей и зеленой полосой.
Рассмотрим теперь задачу, очень похожую на первую.
Задача 2.
В магазине продавалось 8 мячей. На 6 мячах были синие полосы, на 5 мячах — зеленые полосы. Сколько могло быть мячей с синей и зеленой полосой одновременно?
Решение.
Чем эта задача отличается от предыдущей? Тем, что здесь не сказано, что на каждом мяче обязательно должна быть какая-то полоса. Нарисуем все варианты распределения полос.
Видно, что могло быть 3, 4 или 5 мячей с двумя видами полос.
Задача 3.
В группе детского сада 10 детей. 5 детей любят манную кашу, 5 овсяную, при этом 4 ребенка любят обе эти каши. Сколько детей не любят ни манную, ни овсяную кашу?
Решение.
Нарисуем схему. Отметим детей, которые любят манную кашу.
Теперь отметим любителей овсяной каши. Мы помним, что 4 из них любят и манную тоже.
Видно, что детей, которые не любят ни одну кашу, 4.