Логика.
Основные понятия темы «Логика» и некоторые приёмы решения логических задач были рассмотрены на занятии 3 и занятии 22.
На этом занятии мы рассмотрим более сложные задачи, в которых используются утверждения, состоящие из нескольких частей, и, кроме того, нужно догадаться какие утверждения являются истинными, а какие ложными.
При решении логических задач очень важно уметь делать верные логические выводы. Рассмотрим некоторые правила, касающиеся сложных утверждений.
Пусть в задаче есть утверждение А, состоящее из двух утверждений Б и В, связанных словом «или» (А = Б или В).
- Если утверждение А истинно — это значит, что либо утверждение Б истинно, либо утверждение В истинно (при этом Б и В могут быть истинны одновременно).
- Если утверждение А ложно — это значит, что утверждения Б и В одновременно ложны.
Пусть в задаче есть утверждение А, состоящее из двух утверждений Б и В, связанных словом «и» (А = Б и В).
- Если утверждение А истинно — это значит, что утверждения Б и В одновременно истинны.
- Если утверждение А ложно — это значит, что либо утверждение Б ложно, либо утверждение В ложно (при этом Б и В могут быть ложны одновременно).
Пример.
Есть две комнаты, в каждой из которых находится тигр или принцесса. Возможно, что в обеих комнатах находится по тигру или по принцессе, но пустых комнат нет. На двери каждой комнаты висит табличка с утверждением, причем на табличке может быть написана как правда, так и ложь. Таблички такие:
- Тигр находится по крайней мере в одной из комнат.
- Принцесса находится только в этой комнате.
Что можно сказать об обитателях каждой из комнат?
Решение.
Обозначим принцессу буквой П, тигра буквой Т. Запись ПТ будет означать, что в 1-й комнате находится принцесса, а во 2-й комнате — тигр.
Табличка на 1-й комнате фактически утверждает, что тигр находится в 1-й комнате или тигр находится во 2-й комнате.
- Если эта табличка говорит правду, то либо в 1-й комнате находится тигр, либо во 2-й комнате находится тигр, либо в обеих комнатах находятся тигры. Возможные варианты — ТП, ПТ, ТТ.
- Если эта табличка лжет, то в 1-й комнате тигра нет и во 2-й комнате тигра нет, то есть в обеих комнатах находятся принцессы. Единственный вариант — ПП.
Табличка на 2-й комнате фактически утверждает, что принцесса находится во 2-й комнате и тигр находится в 1-й комнате.
- Если эта табличка говорит правду, то в 1-й комнате находится тигр и во 2-й комнате находится принцесса. Единственный вариант — ТП.
- Если эта табличка лжет, то либо в 1-й комнате тигра нет, либо во 2-й комнате принцессы нет, либо в 1-й комнате тигра нет и во 2-й комнате принцессы нет. Возможные варианты — ПТ, ПП, ТТ.
Мы разобрали, что означают утверждения на каждой из табличек по отдельности. Но у нас обе таблички должны означать одно и то же размещение принцесс и тигров по комнатам. И тут возможны разные ситуации в зависимости от правдивости табличек. Сделаем выводы на основе наших предыдущих рассуждений.
- Если обе таблички говорят правду, то единственный вариант размещения по комнатам, соответствующий обеим табличкам, — это ТП (в 1-й комнате — тигр, во 2-й — принцесса).
- Если обе таблички утверждают ложь, то единственный вариант размещения по комнатам, соответствующий обеим табличкам, — это ПП (в обеих комнатах принцессы).
- Если первая табличка говорит правду, а вторая — ложь, то возможны два варианта размещения по комнатам, соответствующих обеим табличкам, — это ПТ и ТТ. То есть можно однозначно сказать, что во 2-й комнате находится тигр. А чтобы определить, кто находится в 1-й комнате, нужна дополнительная информация.
- Ситуация, когда первая табличка утверждает ложь, а вторая — правду, невозможна, так как в этом случае утверждения табличек противоречат друг другу. Поэтому нет вариантов размещения по комнатам, соответствующих обеим табличкам.
Замечание.
При решении логических задач очень важно не только найти одно верное решение, но и доказать, почему другие варианты не подходят. Если неизвестно заранее, какие из утверждений задачи истинны, а какие ложны, то нужно действовать, как в приведенном выше примере: рассмотреть разные варианты истинных и ложных утверждений и выбрать те, которые не приводят к противоречию.