Домино.
Домино — это настольная игра, состоящая из прямоугольных пластинок, называемых костяшками, костями, камнями или доминошками. Каждая доминошка состоит из двух квадратных половинок, на каждой половинке изображено несколько точек, которые обозначают число очков. В процессе игры в домино выстраивается цепь доминошек, соприкасающихся половинками с одинаковым числом очков.
Существует несколько разновидностей этой игры, но на этом занятии мы будет рассматривать традиционное домино.
В традиционном домино на половинках костяшек изображено от 0 до 6 точек. Полный набор составляют 28 костяшек, причем все костяшки различны, одинаковых в наборе нет:
Костяшка, на половинках которой изображено равное число очков, называется дублем. В традиционном наборе домино всего 7 дублей:
При построении цепочки доминошек дубли обычно кладут поперек цепочки. Цепочка костяшек может быть прямой, но чаще имеет несколько поворотов. В некоторых играх цепочка может выстраиваться в нескольких направлениях:
Все доминошки можно записать числами. Например, доминошку с очками 3 и 5 можно обозначить выражениями 3-5, 5-3, 3/5, 5/3, 35, 53.
Домино имеет множество интересных свойств, поэтому используется во многих математических задачах и головоломках. Рассмотрим некоторые из них.
Задача 1.
Какую костяшку домино нужно вставить вместо нарисованной пунктиром?
Решение.
Как видим, здесь не используются правило построения цепочки (цепочки нет) и уникальность костяшек в наборе (костяшки на картинке повторяются). Но требуется вставить именно костяшку домино, то есть количество точек на половинках искомой костяшки должно быть от 0 до 6.
Попробуем догадаться, в соответствии с какой закономерностью расположены костяшки. Можно заметить, что костяшки расположены в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. В первых двух строках и первых двух столбцах расположены по три костяшки: 2-3, 0-6, и 5-4. Чтобы это правило выполнялось для всей таблицы, на месте пунктирной костяшки не хватает костяшки 2-3.
Ответ: костяшку 2-3.
Задача 2.
Костяшки из набора домино сложили в коробку (смотрите рисунок). Как расположены костяшки?
Решение.
В этой задаче правило построения цепочек не используется, так как костяшки лежат в коробке, а не выстроены в цепочку. Но нужно учитывать, что костяшки — из набора домино, а значит, не могут повторяться.
Поскольку на рисунке видны только квадратные половинки доминошек, но не видны границы между доминошками, доминошки могут располагаться как вертикально, так и горизонтально.
Первая слева доминошка не может быть вертикальной 0-4, так как тогда соседняя с ней доминошка тоже будет 0-4, а в наборе нет одинаковых доминошек:
Значит, слева лежат две горизонтальные доминошки: 0-0 и 4-4:
Но тогда с правого края не может быть горизонтальных доминошек, иначе они будут тоже костяшками 0-0 и 4-4, потому крайняя правая костяшка — это вертикальная 4-0:
А вот соседняя с ней вертикальной быть не может (тогда она будет тоже 4-0). Рассуждая таким образом дальше, получаем такое расположение костяшек в коробке (разные костяшки раскрашены в разные цвета):
Ответ: на рисунке выше.
Задача 3.
Из набора домино взяли все костяшки с 0, 1 и 2 точками. Можно ли из всех этих костяшек построить замкнутую цепочку домино?
Решение.
Сначала определим, из каких костяшек требуется построить цепочку. Все они представлены на рисунке:
Замкнутая цепочка — это цепочка, у которой конец соприкасается с началом. При этом правило построения цепочки не должно нарушаться. Если из указанных костяшек такую цепочку построить можно, то она будет выглядеть так:
Если цепочка построена правильно, то в местах соприкосновения соседних костяшек образуются пары половинок с одинаковым числом очков:
А это значит, что, чтобы можно было расставить все доминошки в замкнутую цепочку, количество половинок с каждым числом очков должно быть четным. То есть, в нашем наборе должно быть четное число нулей, четное число единиц и четное число двоек. Как видно из рисунка выше, в нашем наборе четыре половинки «пусто», четыре половинки «1» и четыре половинки «2». И можно расставить доминошки, например, так:
Вопрос.
А можно ли построить замкнутую цепочку из набора костяшек с 0, 1, 2, 3 очками? А незамкнутую? Попробуйте ответить на эти вопросы самостоятельно.
Ответ: можно (на рисунке выше).