Геометрия.
На этом занятии мы будем решать задачи, связанные с построением, разрезанием, вычислением площади геометрических фигур.
1. Площадь фигур на клетчатой плоскости.
На сегодняшнем занятии мы будем рассматривать фигуры на клетчатой плоскости, то есть на плоскости, которая разлинована вертикальными и горизонтальными линиями на равные квадраты. Такая разлиновка называется сеткой. Будем рассматривать только многоугольники, вершины которых находятся в узлах сетки, то есть в точках пересечения линий сетки.
Нас интересует, сколько клеточек плоскости занимает та или иная фигура. Будем называть эту величину площадью фигуры.
Самые простые случаи — это прямоугольники и квадраты, стороны которых совпадают с линиями сетки. В этих случаях количество клеток, которые эти фигуры занимают на плоскости, достаточно легко подсчитать: нужно количество клеток по горизонтали умножить на количество клеток по вертикали. Эта формула, скорее всего, вам уже знакома по урокам школьной математики.
Пример 1.
На рисунке представлены прямоугольник 6х3 клеточки и квадрат 4х4 клеточки.
Площадь прямоугольника равна 6*3=18 клеток, площадь квадрата равна 4*4=16 клеток.
Довольно легко подсчитать и площадь прямоугольного треугольника, то есть такого треугольника, две стороны которого совпадают с линиями сетки.
Пример 2.
На рисунке представлен треугольник, две стороны которого совпадают с линиями сетки и равны 7 и 4 клеточки. Прямо подсчитать клетки не получится, т. к. кроме целых клеток треугольник включает и их части.
Можно заметить, что этот треугольник является половиной прямоугольника 7х4 клетки, который разделили диагональю на два равных треугольника.
Следовательно, площадь треугольника будет составлять ровно половину от площади прямоугольника, то есть (7*4):2=14 клеток.
Не так просто обстоит дело, если прямоугольник или квадрат повернут относительно линий сетки. В этих случаях прямым подсчетом клеток не обойтись, так как нужно уметь подсчитывать не только целые клетки, но и их части. Однако и эта задача решаема с помощью методов, которые будут рассмотрены ниже.
Итак, мы знаем, как подсчитать:
- площадь прямоугольника, стороны которого совпадают с линиями сетки: нужно перемножить количество клеток, составляющих вертикальную и горизонтальную стороны прямоугольника,
- площадь треугольника, две стороны которого совпадают с линиями сетки: нужно перемножить количество клеток, составляющие эти стороны, и поделить пополам.
Теперь мы можем найти площадь любого многоугольника, вершины которого находятся в узлах сетки.
Для этого можно использовать метод разбиения и метод дополнения.
Рассмотрим эти методы на примерах.
Задача 1.
Найдите площадь фигуры методом разбиения.
Решение.
Метод разбиения состоит в том, что исходную фигуру мы разбиваем на более простые фигуры, площадь которых мы умеем находить: прямоугольники и треугольники, рассмотренные выше. Площадь исходной фигуры будет равна сумме площадей всех частей.
Попробуем разбить нашу фигуру на части. Возможны разные варианты разбиения, например, такие:
Очевидно, что разбиение 1 не является удобным для решения задачи, мы не знаем, как найти площадь частей.
Разбиение 2 более удобно, мы можем подсчитать площадь каждой части.
- Площадь треугольника А равна (5*4):2=10 клеток
- Площадь треугольника Б равна (9*3):2=13 с половиной клеток
- Площадь прямоугольника В равна 6*1=6 клеток
- Площадь треугольника Г равна (3*5):2=7 с половиной клеток
- Площадь треугольника Д равна (6*4):2=12 клеток
Площадь исходной фигуры равна сумме площадей частей, а именно:
10 + (13 с половиной) + 6 + (7 с половиной)+ 12 = 49 клеток.
Ответ: 49 клеток.
Задача 2.
Найдите площадь фигуры методом дополнения.
Решение.
Метод дополнения состоит в том, что исходную фигуру мы дополняем так, чтобы можно было сосчитать площадь получившейся фигуры и площади частей, которыми мы дополнили исходную фигуру.
Дополним нашу фигуру до прямоугольника:
Как видно из рисунка, чтобы найти площадь исходной фигуры, нужно из площади желтого прямоугольника вычесть пощади заштрихованных треугольников.
- Площадь желтого прямоугольника равна 4*4=16 клеток
- Площадь треугольника с косой штриховкой равна (4*4):2=8 клеток
- Площадь треугольника с шахматной штриховкой равна (1*4):2=2 клетки
Площадь исходной фигуры равна 16 — 8 — 2 = 6 клеток.
Ответ: 6 клеток.
2. Разрезание фигур на части.
В задачах этого типа требуется разделить («разрезать») фигуру на другие, описанные в задаче, фигуры. Конечно, можно взять в руки ножницы и вырезать фигуры из бумаги. Но гораздо проще начертить фигуру на листе бумаги и «разрезать» понарошку: например, раскрасить нужные части в разные цвета или жирно выделить линии разреза.
При решении таких задач нужно внимательно читать условие. А условия могут быть разные:
- Как нужно делать разрез: по линиям сетки (если на фигуре уже нанесена сетка из вспомогательных линий) или как угодно?
- На какие фигурки нужно разрезать: на одинаковые или разные?
- «Зеркальные» фигурки (когда одна фигурка является зеркальным отражением другой) считаются одинаковыми или разными?
Задача 3.
Разрежьте фигуру по сторонам клеток на 2 равные части. Разрежьте эту же фигуру на 3 равные части.
Решение.
Поскольку в условии задачи не сказано другое, будем считать, что равные фигурки — это такие фигурки, которые можно вырезать из бумаги, наложить друг на друга, и они совпадут. Таким образом, фигурки, являющиеся зеркальным отображением друг друга, будем считать равными.
В задаче сказано, что разрезы нужно делать по линиям сетки, значит, части тоже будут состоять из целого количества клеток.
Вся фигура состоит из 18 клеток. Значит, если нам удастся разрезать ее на 2 равные части, то каждая часть будет состоять из 9 клеток. Попробовав разные варианты, можно получить следующее разрезание:
А если фигуру удастся разрезать на 3 равные части, то каждая часть будет состоять из 6 клеток. Попробовав разные варианты, можно получить следующее разрезание:
3. Разрезание фигур прямыми разрезами.
В этих задачах тоже нужно разрезать фигуру на части, но только прямолинейными разрезами. Это значит, что через фигуру нужно провести указанное количество прямых линий («разрезов»). Нужно иметь в виду, что прямолинейный разрез не может начаться или кончиться где-то в середине фигуры, разрез проходит через всю фигуру.
Интересно, что одним прямолинейным разрезом выпуклую фигуру можно разрезать только на две части, а невыпуклую фигуру — на большее количество частей.
Задача 4.
На день рождения Васи испекли большой торт в виде цифры 7. Разрежьте торт двумя прямолинейными разрезами на 6 частей.
Решение.
Одним прямолинейным разрезом такой торт можно разрезать на 2 или на 3 части:
Можно заметить, что во втором случае один разрез фактически превращается в два: в верхней и в нижней части торта.
Если аналогично сделать еще один разрез, то получится 4 или 5 частей:
А если во втором случае провести разрезы так, чтобы они пересекались на торте, то получится 6 частей:
4. Построение фигур.
В задачах этого типа нужно построить фигуры, для которых в задаче заданы некоторые условия. Для удобства мы будем строить фигуры на клетчатом листе.
Задача 5.
У Кролика очень аккуратный огород, он размечен на квадраты со стороной 1 м. Кролик хочет огородить декоративным заборчиком грядку для посадки морковки размером в 4 квадрата. Декоративный заборчик продается отрезками длиной 1 м. Какое наименьшее количество отрезков заборчика потребуется Кролику?
Решение.
Для клетчатого огорода Кролика нам нужно построить «проект» морковной грядки, состоящей из 4 квадратов. Какие это могут быть фигуры? Все они показаны на рисунке:
Конечно, есть и другие фигуры из 4 клеток, но они получаются из указанных либо поворотом, либо зеркальным отображением. В любом случае, заборы для других фигур будут иметь такую же длину, как и для показанных на рисунке.
Поскольку стороны квадратов на огороде кролика и отрезки заборчика имеют длину по 1 м, то по рисунку теперь нетрудно посчитать, сколько же отрезков заборчика нужно для каждой представленной грядки. Для грядок 1, 3, 4, 5 требуется по 10 отрезков заборчика, а для грядки 2 хватит 8 отрезков заборчика.
Ответ: Кролику потребуется 8 отрезков заборчика.