Кубики.
Почти все люди в детстве играют кубиками. Поэтому отличить куб (или кубик) от других фигур для большинства людей не составляет никакого труда. На этом занятии мы будем рассматривать кубики с точки зрения математики и решать задачи, связанные с кубиками.
1. Грани, рёбра, вершины. Видимые и невидимые.
Куб — это многогранник, он состоит из граней.
Грань — это плоская часть поверхности предмета. У куба все грани — квадраты.
Стороны квадратов, из которых состоит куб, называются сторонами или рёбрами куба. Каждое ребро куба — это граница двух граней.
Вершины куба — это точки, в которых сходятся рёбра куба. В каждой вершине куба сходится три ребра.
Возьмите в руки игрушечный кубик и найдите на нем все грани, рёбра и вершины. Сколько их?
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
На рисунке невозможно изобразить кубик так, чтобы он был виден со всех сторон.
Поэтому те грани, рёбра и вершины, которые мы видим на рисунке, называются видимые, а те, которые не видим, — невидимые.
Иногда невидимые ребра изображают пунктиром (как на рисунке выше).
Чаще всего кубик изображается двумя способами.
Посмотрите на рисунок. Сколько граней, рёбер и вершин куба являются видимыми на каждом изображении? А сколько невидимыми?
Видимые: 3 грани, 9 рёбер, 7 вершин.
Невидимые: 3 грани, 3 ребра, 1 вершина.
Бывают такие изображения кубика, что видимыми являются две или даже одна грань.
2. Башни из кубиков.
Из кубиков можно складывать, составлять и склеивать башни и другие фигуры. У новых фигур также будут грани, рёбра и вершины.
Но при объединении кубиков грани, рёбра и вершины тоже частично объединяются, потому посчитать их количество в новой фигуре не так-то просто.
Задача 1.
Из одинаковых кубиков склеили фигуру, как на рисунке.
Сколько у этой фигуры граней, ребер и вершин?
Решение.
Вспомним, что грань — это плоская часть поверхности фигуры. При склейке кубиков некоторые грани, ребра и вершины объединяются.
Таким образом, в этой фигуре уже не все грани являются квадратами. Получается такая фигура:
Если теперь внимательно посчитать, то получится, что у этой фигуры 10 граней (5 видимых на рисунке и 5 невидимых), 24 ребра (17 видимых и 7 невидимых) и 16 вершин (13 видимых и 3 невидимых).
Ответ: 10 граней, 24 ребра и 16 вершин.
На рисунках, изображающих башни и фигуры из кубиков, невидимыми могут быть не только грани, рёбра и вершины, но и целые кубики. Об их присутствии в фигуре мы можем лишь догадываться.
А иногда по одному рисунку невозможно подсчитать точно, сколько кубиков ушло на постройку фигуры. Для точного подсчета требуются дополнительные изображения этой фигуры: например, вид сверху или вид сбоку.
Задача 2.
Сколько кубиков ушло на постройку башни?
Решение.
На рисунке этой башни видно 8 кубиков. Все кубики второго этажа стоят на кубиках первого этажа. Поэтому, можно догадаться, что средний кубик второго этажа стоит на кубике первого этажа, хотя мы этот кубик под ним и не видим. Таким образом, на постройку башни ушло 8+1=9 кубиков.
Ответ: 9 кубиков.
Замечание. На самом деле, 9 кубиков — это минимальное количество кубиков в этой башне. Может случиться так, что в этой башне в первом этаже есть еще кубики, которые не видны из-за кубиков второго этажа. Поэтому для точного подсчета всех кубиков, необходимо посмотреть на эту башню, например, сзади или сверху. То есть требуется дополнительное изображение башни.
Часто в задачах имеет значение не только количество кубиков в башне или фигуре, но их порядок.
Задача 3.
Маша построила башенку из кубиков, такую, как на рисунке. Потом пришла Машина младшая сестричка Даша и построила свою башню. Даша делала так: она взяла верхний кубик из Машиной башни и поставила его рядом на стол, затем брала из Машиной башни один из свободных кубиков (свободный — тот, на котором не стоят кубики) и ставила в свою башню на предыдущий кубик. И так до тех пор, пока кубики из Машиной башни не закончились.
Какая башня из представленных на рисунке могла получиться у Даши?
Решение.
Поскольку Даша сначала берет красный кубик, то он окажется в самом низу Дашиной башни. Затем Даша берет один из кубиков второго этажа Машиной башни, то есть желтый или зеленый. После того, как Даша взяла один кубик из второго этажа, свободным становится и один кубик нижнего этажа. И Даша может взять либо второй кубик из второго этажа, либо освободившийся кубик из нижнего этажа. В первом случае освобождаются все три кубика нижнего этажа, и Даша берет их в любом порядке. Во втором случае свободным остается только кубик второго этажа, Даша его берет и освобождает оставшиеся два кубика нижнего этажа, которые берет в любом порядке.
Таким образом, в Дашиной башне отражен порядок, в котором Даша разбирала Машину башню. Из представленных на рисунке башен указанной последовательности кубиков удовлетворяют башни 3 и 4. Причем, в башне 4 первый желтый кубик — это кубик из второго этажа, а не из нижнего.
Ответ: башни 3 и 4.
3. Развёртки кубика.
Если бумажный кубик разрезать по рёбрам так, что его можно будет разложить на плоскости, мы получим развёртку кубика.
То есть развёртка кубика — это такая фигура, из которой, если ее вырезать, согнуть в нескольких местах и склеить, получится кубик.
Нетрудно догадаться, что развертка кубика составлена из 6 квадратов. Но не каждая фигура из 6 квадратов является разверткой кубика.
Посмотрите на рисунок. Из первой фигуры получится склеить кубик, а из второй нет.
У кубика всего 11 разверток.
Для развития пространственного воображения важно научиться определять вид кубика по развёртке и, наоборот, вид развёртки по виду кубика.
Задача 4.
Из какого кубика могла получиться такая развертка?
Решение.
Из кубика 2 такая развертка получиться не могла, так как в кубике оранжевая и красная грани находятся рядом, а на развертке противоположны.
Из кубика 1 такая развертка тоже получиться не могла. Рассмотрим вершину кубика и развертки, общую для синей, красной и желтой граней. Если мы будем двигаться на кубике вокруг этой вершины по часовой стрелке, то грани пройдем в порядке красная-синяя-желтая. А на развертке такой порядок возможен только при движении против часовой стрелки вокруг вершины.
Кубики 3 и 4 друг от друга отличаются порядком расположения граней при обходе вокруг общей вершины. При движении по часовой стрелке для кубика 3 порядок будет зеленая-оранжевая-желтая, а для кубика 4 — зеленая-желтая-оранжевая.
А в каком порядке эти грани располагаются на развертке? Тут не так просто определить, ведь на развертке у этих граней нет общей вершины. Попробуем преобразовать развертку так, чтобы расположение граней в кубике не изменилось. Можно заметить, что оранжевая грань развертки при склейке будет иметь противоположные общие ребра с голубой гранью и с желтой гранью. Поэтому мы можем мысленно «отрезать» оранжевую грань от голубой и «приклеить» ее к желтой с противоположной стороны. А зеленую грань мы можем «отрезать» по верхнему ребру от красной грани и «приклеить» по левому ребру к желтой грани. Получится развертка точно для такого же кубика, что начальная развертка:
Теперь по этой развертке мы можем определить порядок желтой, оранжевой и зеленой граней кубика. В развертке при обходе вокруг общей вершины по часовой стрелке порядок будет зеленая-оранжевая-желтая. Значит, эта развертка получена из кубика 3, поскольку в нем точно такой же порядок граней.
Ответ: указанная развертка получена из кубика 3.
4. Игральный кубик.
Игральным кубиком называется кубик, для которого выполняются правила:
- На гранях кубика нарисованы точки в количестве от 1 до 6. Иногда вместо точек на гранях указаны числа от 1 до 6. Точки или числа обозначают количество выпавших на кубике очков.
- Сумма очков на противоположных гранях кубика равна 7.
На этих свойствах игрального кубика построено множество задач.
Задача 5.
Ваня и Саша играют в игру — бросают два игральных кубика. Ваня подсчитывает очки на верхних гранях кубиков, Саша — на нижних.
После двух бросков у Вани получилось 10 очков. Сколько очков получилось у Саши?
Решение.
Кажется, что такую задачу решить невозможно, ведь мы не знаем, сколько очков выпадало на каждом кубике при каждом броске. Но попробуем разобраться.
Ваня и Саша подсчитывают очки на противоположных гранях, значит, при каждом броске одного кубика у Вани и Саши вместе получается 7 очков, а при каждом броске двух кубиков — 14 очков. Поскольку мальчики сделали два броска двух кубиков, то вместе у них получилось 14+14=28 очков. Из них 10 — Ванины очки. Значит, у Саши — 18 очков.
Ответ: у Саши 18 очков.
5. Спилы и распилы.
Из кубиков можно не только склеивать фигуры и строить башни.
Например, от кубиков или фигур можно «отпиливать» части. При этом в получившейся фигуре увеличивается количество граней, ребер и вершин. В этом случае важно правильно представить и изобразить получившуюся после распила фигуру.
Задача 6.
У деревянного кубика отпилили угол, как показано на рисунке.
Сколько граней, ребер и вершин у получившейся фигуры?
Решение.
По рисунку видно, что после отпила в фигуре появилась новая грань (начальные 6 граней куба никуда не исчезли, некоторые лишь поменяли форму), три новых ребра (начальные 12 ребер не исчезли, некоторые стали короче) и вместо одной отпиленной вершины появилось три новых.
Таким образом, в получившейся фигуре 7 граней, 15 ребер, 10 вершин.
Ответ: 7 граней, 15 ребер, 10 вершин.
Можно распилить большой кубик на несколько маленьких. Возникают вопросы: сколько таких кубиков получится, какого они будут размера, какие у них будут свойства? В этом случае также поможет правильный рисунок.
Задача 7.
Деревянный куб с ребром 10 см покрасили краской, а затем распилили на кубики с ребром 5 см.
Сколько кубиков получилось? Сколько среди них кубиков с одной окрашенной гранью, с двумя окрашенными гранями, с тремя окрашенными гранями?
Решение.
Поскольку нужно получить кубики со стороной 5 см, значит каждое ребро большого кубика надо распилить пополам. Попробуем нарисовать, как это будет выглядеть.
Из рисунка видно, что после распиливания получится 8 кубиков.
Что касается покраски, то можно заметить, что все получившиеся кубики одинаковые и имеют по 3 окрашенные и 3 неокрашенные грани.
Таким образом, среди получившихся кубиков нет ни одного с одной или двумя окрашенными гранями, а с тремя окрашенными гранями — все 8 кубиков.
Ответ: 8 кубиков, все они с тремя окрашенными гранями.