5-6 класс. Неделя 6 (с 22 по 28 октября 2018). Задачи.

Публикация в группе: Бесплатные занятия 5-6 класса

Эта неделя — «Разнобой». Сюда войдут дополнительные задачи из уже пройденных тем.
Вступление:

Серия №1

1. Никита живет в 50-этажном доме, в лифте которого работают только кнопки «+6» и «-4». Можно ли полноценно пользоваться этим лифтом, то есть попадать с любого этажа на любой другой?
   
   

2. Никита переехал в 49-этажный дом, теперь в лифте работают только кнопки «+7» и «-3». Можно ли теперь полноценно пользоваться лифтом?
   
   

3. На столе лежит 2017 монет решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 4 монеты. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?
   
   

Недельное задание №1

1. Саша получает в школе только пятерки и четверки. Сейчас у Саши поровну пятёрок и четвёрок. Может ли у Саши быть всего 167 оценок?
   
   

2. Коля в свой день рождения неожиданно заметил, что в предыдущем месяце от месяца его рождения было нечетное количество дней, в следующем месяце тоже будет нечетное количество дней, да и в месяце его рождения нечетное количество дней. В каком месяце мог родиться Коля?
   
   

3. Укажите все такие натуральные N, что число N! является нечетным.
   
   

Серия №2

1. Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 7. Прав ли барон?
   
   

2. Вася приобрел на рынке дрессированного лягушонка, который умеет прыгать по прямой дорожке на 1 см вправо или влево. Может ли случиться так, что лягушонок сделает ровно 25 прыжков и вернется в исходное положение?
   
   

3. Учитель географии поставил Васе двойку. Чтобы отомстить географу, Вася изорвал карту мира на части. Каждый раз он брал один из кусков, и рвал его на 9 или на 13 кусков. Мог ли Вася по окончании своего акта вандализма получить из карты ровно 2018 кусков?
   
   

4. Можно ли разменять 100 рублей на 25 монет по 1 руб. или 5 руб.?
   
   

Недельное задание №2

1. Можно ли прямоугольник а) 5х5; б) 5х9 разрезать на уголки из 3 клеток?
   
   

   
   

2. Дано 105 одинаковых равносторонних треугольничков, в углах каждого из них написаны числа 1, 2 и 3 – каждое по одному разу. Можно ли их сложить в стопку так, чтобы суммы чисел в трех углах стопки были равны?
   
   

3. В клетках таблицы 9х17 расставлены целые числа так, что сумма чисел в любом прямоугольнике 1х3 нечетна. Четна или нечетна сумма всех чисел в прямоугольнике?
   
   

4. Круг разделен на 10 секторов. В одном из них лежит камень, а остальные секторы пусты. Разрешается добавлять по одному камню в два соседние сектора. Можно ли добиться того, что во всех секторах будет поровну камней?
   
   

Серия №3

1. Докажите, что 7^2018+ 9^2018 делится на 10.
   
   

2. Дано 100 натуральных чисел. Разрешается одновременно прибавить по 1 к любым 33 числам. Докажите, что все числа можно сделать равными.
   
   

3. По кругу расставлены 18 натуральных чисел. Сумма любых четырех чисел, стоящих подряд, равна 100. Докажите, что каждое из этих чисел меньше 50.
   
   

4. Докажите, что 7^2018+ 9^2018 не делится на 100.
   
   

Недельное задание №3, про нашего старого знакомого Васю

1. Вася купил шоколадку 3 на 3, разделенную по бороздкам на 9 маленьких долек, и стал ломать ее по бороздкам. За какое число действий он сумеет разломать ее на отдельные квадратики, если за один раз он может ломать только один кусок?
   
   

2. На этот раз Вася выпустил своего лягушонка на бесконечное клетчатое болото, в вершинах клеток которого располагаются кочки. Лягушонок может перепрыгнуть с кочки на любую из четырех соседних. Может ли он сделать ровно 25 прыжков и вернуться на кочку, с которой начал?
   
   

3. Вася утверждает, что нашел 3 натуральных числа, попарные суммы которых равны 2016, 2017, 2018. Учительница мгновенно поставила Васе двойку. Почему?
   
   

4. Василий решил вновь испытать судьбу и утверждает, что нашел 3 натуральных числа, попарные суммы которых равны 2017, 2018, 2019. Что за числа нашел Василий?
   
   

5. В каждой клетке таблицы 6х6 Вася записал целое число. Оказалось, что сумма чисел в любом прямоугольнике 1х4 в этой таблице четна. Может ли сумма чисел во всей таблице 6х6 быть нечетной?
   
   

Серия №4

1. Вася решил вновь расставлять числа по кругу. На этот раз он решил расставить 2017 натуральных чисел по кругу так, чтобы сумма любых трех подряд идущих чисел в круге равнялась 2018. Справится ли Вася на этот раз с задачей?
   

   
   

2. На гранях куба отметили центры и соединили каждый центр с 4 вершинами куба на этой грани отрезками (ребра куба не проводили). Можно ли теперь обойти по циклу все вершины и центры граней куба ровно по 1 разу, двигаясь только по проведенным отрезкам?
   

   
   

3. Коля решил выписывать в ряд последнюю цифру степеней одного и того же натурального числа. То есть он выписал последнюю цифру числа n, потом последнюю цифру n^2, потом последнюю цифру n^3, и т.д. Докажите, что у Коли получится цикличная последовательность.
   

   
   

Недельное задание №4

1. На 17 карточках написали числа от 1 до 17 в некотором порядке, потом карточки перевернули и на обратных сторонах также написали числа от 1 до 17 (возможно, в другом порядке). Два числа на каждой карточке сложили и полученные 17 сумм перемножили. Докажите, что в результате получилось четное число.
   

2. На шахматной доске 8 на 8 симметрично относительно главной диагонали cтоят 25 фишек. Докажите, что одна из фишек стоит на главной диагонали.
   
   

3. Есть 4 книжных полки длиной 75 см. каждая. Можно ли на этих полках разместить 65 книг толщиной 2 см, 7 книг толщиной 6 см и 32 книги толщиной 4 см?