5-6 класс. Неделя 20 (с 4 по 10 марта 2019). Теория и задачи.

Публикация в группе: Бесплатные занятия 5-6 класса

Теоретический блок этой недели состоит из лекции и серии задач по теме «Принцип крайнего».
Лекция онлайн-кружка 5-6 класса — «Принцип крайнего». Лектор: Михайловский Никита Андреевич (Москва).

Упражнения

1. Подумайте, по какому признаку можно выбрать «крайний» элемент в следующих множествах:
   А) шарики разного диаметра;
   Б) несколько попарно различных (то есть в наборе нет двух одинаковых) натуральных чисел;
   В) очередь желающих сдавать задачи на математическом кружке.

2. Подумайте, по какому признаку можно выбрать «крайний» элемент в следующих множествах:
   А) множество всех женщин на земле;
   Б) несколько месяцев в году;
   В) шкафы, отличающиеся по размеру и весу;
   Г) все страны на Земле;
   Д) шашки, расположенные на доске 8х8.
   Постарайтесь придумать несколько вариантов решения в каждом пункте.

3. У Мюнхгаузена в кармане лежит 2019 монеток. Мюнхгаузен заявил, что если взять любую монетку, то для нее найдется другая монетка бльшая по номиналу. Не врет ли Мюнхгаузен?

Задачи

1. В ряд выстроились ученики одного класса (в классе учится хотя бы 1 мальчик и хотя бы 1 девочка). Каждый в ряду заявил, что его соседи разного пола. Докажите, что хотя бы 2 детей соврали.
2. Никита Андреевич заявил, что он знает самую большую степень двойки. Александра Эдуардовна считает, что знает большую степень двойки. Кто из них прав?
3. В деревне Разновозрастное (жителей в деревне хотя бы трое) нет двух жителей с одинаковым ростом. Однажды все жители этой деревни встали в круг, после чего каждый в круге сделал следующее заявление: «Мой сосед справа ниже меня!» Докажите, что хоть один соврал. Существенно ли в этой задаче условие на отсутствие двух жителей одинакового роста?
4. Все жители деревни Разновозрастное (жителей в деревне хотя бы трое) вновь выстроились в круг, после чего каждый заявил: «Оба моих соседа ниже меня!» Докажите, что в этот раз хотя бы один из жителей сказал правду. Существенно ли в этой задаче условие на отсутствие двух жителей одинакового роста?
5. Никита Андреевич попросил ребят из своего кружка (заметьте, в этот раз мы не знаем, существуют ли 2 кружковца одинакового роста!) встать в круг. Ребята выполнили просьбу, после чего каждый кружковец заявил, что один его сосед был выше него, а другой сосед был ниже его. Докажите, что хотя бы двое ребят из его кружка соврали.
6. N человек встали в круг. Каждый из них сказал, что он либо выше обоих своих соседей, либо ниже обоих своих соседей. Могло ли это быть правдой?
   Разберите случаи, когда а) N = 2019   б) N = 2018

7. На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что какая-то из ладей бьет не более двух других. (Ладьи насквозь не бьют, то есть в одном направлении ладья бьет только ближайшую к ней ладью).
8. На шахматной доске стоит несколько ферзей. Докажите, что какой-то из ферзей бьет не более четырех других. (Ферзи насквозь не бьют, то есть в одном направлении ферзь бьет только ближайшего к ней ферзя).
9. (Неожиданная задача!) Можно ли числа от 1 до 64 расставить по одному в клетки шахматной доски так, чтобы каждое число было либо больше всех своих соседей по стороне, либо меньше всех своих соседей по стороне?
10. Можно ли расставить все числа от 1 до 2019 по кругу так, чтобы каждое число было равно полусумме двух соседних с ним чисел?
11. Педантичная Даша расставила 2019 гирек разного веса по убыванию в ряд. Она утверждает, что любые две гирьки в сумме тяжелее, чем любая гирька. Какое наименьшее количество взвешиваний нужно сделать, чтобы проверить слова Даши?
12. В математическом кружке прошло соревнование по перетягиванию каната, в результате все оказались занесены в список по убыванию силы. Елена Юрьевна задумалась: верно ли, что любые трое перетянут любых двоих. За какое наименьшее число перетягиваний она сможет это установить?
13. В некоторой стране 2019 деревень, некоторые из них соединены дорогами (одна дорога соединяет ровно две деревни, причем все дороги разной протяженности). Однажды Колобок на всех обиделся и покатился из своей деревни по самой длинной дороге. Он прикатился в какую-то новую деревню и оттуда снова покатился по самой длинной дороге из этой деревни и так далее. Докажите, что с некоторого момента Колобок будет кататься между двумя деревнями.
14. Карлсон по одной выставляет шашки на черные клетки доски 10х10 (пока не заполнит все 50 черных клеток шашками). Докажите, что в какой-то момент одна из шашек на доске будет находиться под боем другой шашки. Для решения необходимо сначала вспомнить правила боя в шашках.
15. В одной Солнечной системе 2019 планет, и на каждой живет астроном, наблюдающий ближайшую к нему планету. Расстояния между планетами попарно различны. Докажите, что а) найдутся два астронома, которые наблюдают планеты друг друга; б) существует планета, которую никто не наблюдает.
16. На плоскости даны 2019 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, не содержащий ни одной из оставшихся точек.