Теоретический блок этой недели состоит из лекции и серии задач по теме «Двумя способами».
Лекция онлайн-кружка 5-6 класса — «Двумя способами.» Лектор: Михайловский Никита Андреевич (Москва).
Упражнение:
- Расставьте числа от 1 до 9 в кружочках так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника равнялась 20.
- Можно ли расставить числа от 1 до 9 в кружочках так, чтобы сумма чисел на каждой стороне треугольника была равна 16?
- Петя расставил числа от 1 до 9 в кружках на сторонах треугольника из предыдущей задачи так, что суммы чисел на всех сторонах треугольника оказались равны одному и тому же числу. Найдите наибольшее значение этого числа.
- А) Даны числа от 1 до 9. Расставьте их в кружках так, чтобы сумма трех чисел вдоль каждой линии была равна 12. Докажите, что при любой расстановке чисел, удовлетворяющих условию задачи, в центре будет стоять одно и то же число.
Б) Докажите, что нельзя расставить числа от 1 до 9 в кружочках так, чтобы сумма трех чисел вдоль любой линии была равна 13.
В) Коля расставил числа от 1 до 9 в кружочках так, что сумма трех чисел на каждом из четырех отрезков, проходящих через центральный кружочек, оказалась равна количеству орехов в правом кармане Коли. Какое наибольшее количество орехов могло быть в правом кармане Коли?
- Коля заполнил прямоугольную таблицу натуральными числами так, что в каждой строке сумма чисел была равна 1200, а в каждом столбце 3000. Строк в таблице было 150. Сколько было столбцов?
- В клетках шахматной доски расставлены восемь единиц, восемь двоек, …., восемь восьмерок. Может ли так оказаться, что в каждом квадрате 2х2 сумма чисел равна 19?
- 7. Заполните таблицы натуральными числами так, чтобы суммы чисел в столбцах и строках были посчитаны верно. Не забудьте восстановить также сами недостающие суммы в строчках и столбцах, где это необходимо:
- Отличница Маша вычислила сумму: 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + 99∙100 и получила в результате 77777. Докажите, что Маша ошиблась.
- Расставьте в кружках числа от 1 до 11 так, чтобы суммы трех чисел на каждом из десяти отрезках были одинаковыми.
- Можно ли занумеровать числами от 1 до 12 ребра куба так, чтобы в каждой вершине сумма входящих в нее рёбер была одинаковой?
- На столе лежали 2 колоды карт, по 36 карт каждая. Каждую из колод по отдельности перемешали и положили одну на другую. Потом для каждой пары одинаковых карт посчитали количество карт между ними (то есть сколько карт между дамами пик, шестерками червей, и т.д.). Чему равна сумма всех найденных чисел?
