Теоретический блок этой недели состоит из продолжения лекции и серии задач по теме «Принцип Дирихле».
Лекция онлайн-кружка 5-6 класса — «Принцип Дирихле.Продолжение.» Лектор: Михайловский Никита Андреевич (Москва).
Задачи.
- Какое наибольшее количество натуральных чисел от 1 до 10 можно выбрать так, чтобы среди них не было чисел, одно из которых вдвое больше другого?
- В квадратной таблице 19х19 расставлены плюсы и минусы. Разрешается за один ход поменять знаки на противоположные в любом столбце или в любой строке. Докажите, что можно добиться того, чтобы плюсов в таблице стало не меньше 190.
- В каждой клетке квадрата 3х3 стоит число 2, 1 или 0. Могут ли все суммы чисел по строчкам, по столбцам и двум главным диагоналям оказаться различными?
- Какое наибольшее количество не бьющих друг друга ладей можно расставить на шахматной доске?
- На шахматной доске стоит 7 ладей, докажите, что на доску можно поставить еще одну (уже восьмую) ладью так, что она не будет бить ни одну из 7 первоначальных ладей.
- Каждая клетка таблицы 2018х2018 покрашена в один из 2017 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?
- В каждой клетке таблицы размером 4xN (4 строки и N столбцов) стоит число 0 или число 1. При каком наименьшем значении N утверждение «В этой таблице найдутся два одинаковых столбца!» будет заведомо верным?
- По краю круглого стола расставлены таблички с фамилиями садоводов, участвующих в конференции по выращиванию кабачков. Оказалось, что садоводы не посмотрели на таблички и каждый сел не на свое место. Докажите, что стол можно повернуть так, чтобы хотя бы два садовода сидели против своих табличек?
- Некоторые джентльмены решили основать клуб «Плешь» со следующим уставом:
I) у любых двух членов клуба различное число волос;
II) ни один из членов клуба не имеет ровно 1329 волос;
III)количество волос на голове любого члена клуба меньше числа членов клуба.
Каково максимально возможное число членов в этом клубе? - В графстве Липшир некоторые усадьбы соединены дорогами. Докажите, что есть две усадьбы, из которых выходит поровну дорог.
- На прямой AB (не обязательно внутри отрезка AB) отмечено 2017 точек. Оказалось, что сумма расстояний от этих точек до точки A равна сумме расстояний от этих 2017 точек до точки B. Докажите, что хотя бы одна из отмеченных точек лежит на отрезке AB.