Числа и цифры.
1. Числа и цифры.
Число — это основное понятие математики.
Числа используются:
- для обозначения количества предметов,
- для сравнения предметов по некоторым признакам признакам (например, людей можно сравнить по возрасту, росту и т. д.),
- для нумерации предметов, когда их много.
Для записи чисел используются специальные знаки — цифры.
В разные времена и в разных странах цифры выглядели по-разному.
Например, у древних славян для записи чисел использовались буквы:
В Древнем Египте были такие цифры:
А цифры Древнего Рима используются до сих пор. Их можно встретить в книгах или на циферблате часов:
В современном мире большинство людей для записи чисел используют привычные нам арабские цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — всего 10 цифр. Арабскими они называются потому, что европейцы узнали их от арабов.
Каждая цифра по отдельности обозначает число. Такие числа, состоящие из одной цифры, называются однозначными.
Числа, состоящие из двух цифр, называются двузначными. Числа, состоящие из трёх цифр, называются трёхзначными. И так далее.
Если написано «7», то можно сказать «это цифра 7» или «это число 7». А если написано «17», то нельзя сказать «цифра 17», только — «число 17».
Место цифры в записи числа называется разрядом. В однозначных числах есть только разряд единиц (самый младший разряд). В двузначных числах — два разряда: разряд единиц и разряд десятков. В трехзначных — разряд единиц, разряд десятков и разряд сотен. И так далее.
Заметим, что никакое число, состоящее из двух цифр и больше, не может начинаться с нуля. Нули в самых старших разрядах числа ничего не значат и при записи отбрасываются. Например, число 05 — это то же самое, что 5, число 001100 — это то же самое, что 1100.
Упражнение 1.
Напишите самое маленькое и самое большое трехзначное число.
Решение.
Трехзначное число — это значит, что старший разряд числа — это разряд сотен, и в этом разряде стоит не 0.
Самое маленькое трёхзначное число — 100. Самое большое трехзначное число — 999.
Ответ: 100, 999.
2. Сравнение чисел и цифр.
Любые два числа можно сравнить, то есть определить, какое из них больше, какое меньше, или, может быть, эти числа равны.
А можно ли сравнивать цифры? Так как каждая цифра обозначает число, то мы можем сравнивать и цифры.
Например, можно сказать, что цифра 3 меньше цифры 7. Когда мы так говорим, то имеем в виду, что цифра обозначает число.
Замечание.
А если спросить малыша, который не знает цифр, какая из цифр на картинке больше, что он ответит, как вы думаете? 🙂 Наверное, малыш укажет на цифру 3, ведь для него это не число, а просто фигурка, которая больше по размеру, чем вторая фигурка.
Но мы уже не малыши, поэтому, когда мы говорим, что одна цифра больше другой, то мы сравниваем именно числовые значения цифр, а не размер знаков, не толщину и не высоту.
Когда числа расположены в ряд так, что каждое следующее число больше предыдущего, то говорят, что числа расположены в порядке возрастания.
Например, в ряду 1, 3, 7, 12, 35, 100, 234 числа идут по возрастанию.
Если же в ряду чисел каждое следующее число меньше предыдущего, то говорят, что числа расположены в порядке убывания.
Например, в ряду 56, 44, 35, 32, 11, 9, 2, 0 числа идут по убыванию.
Как сравнить любые два числа?
- Если числа имеют разное количество разрядов, то больше будет то число, в котором разрядов больше.
Например, 12345 > 9876, 1010101< 100100100. - Если числа имеют одинаковое количество разрядов, то больше будет то число, у которого в старшем разряде стоит бОльшая цифра. Если в старшем разряде цифры одинаковые, то сравниваем цифры в следующем разряде и так далее.
Например, 25678 < 31201, 456123 > 456023.
3. Действия с числами и цифрами.
Мы можем совершать с числами арифметические действия: например, складывать, вычитать, умножать и делить. А можем ли мы проделывать эти действия с цифрами?
Так как каждая цифра обозначает число, то мы можем складывать, вычитать, умножать и делить цифры. Но не забывать, что мы, например, складываем цифры именно как числа, а не как картинки с изображением цифр.
Например, сложим цифры 5 и 2: 5+2=7.
Если бы мы складывали цифры, как карточки с изображениями, то получили бы 5+2=52.
Упражнение 2.
Напишите все двузначные числа, сумма цифр которых равна 4.
Решение.
Подумаем, какие две цифры можно использовать для записи таких чисел.
Число 4 можно так представить в виде суммы двух цифр:
- 4=0+4,
- 4=1+3,
- 4=2+2.
Не забывая, что число не может начинаться с нуля, можем составить такие числа:
40, 13, 31, 22.
Ответ: 40, 13, 31, 22.
4. Чётные и нечётные числа.
Чётными называются числа, которые можно разделить на 2 без остатка. Это числа 0, 2, 4, 6, 8 и все числа, у которых в разряде единиц стоит чётная цифра (то есть числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8).
Нечётными называются числа, которые нельзя разделить на 2 без остатка. Это числа 1, 3, 5, 7, 9 и все числа, у которых в разряде единиц стоит нечётная цифра (то есть числа, оканчивающиеся на 1, 3, 5, 7, 9).
Полезно помнить следующие свойства суммы и произведения чётных и нечётных чисел:
- Сумма и разность двух чётных чисел — чётное число.
- Сумма и разность двух нечётных чисел — чётное число.
- Сумма и разность чётного и нечётного числа — нечётное число.
- Произведение двух чётных чисел — чётное число.
- Произведение двух нечётных чисел — нечётное число.
- Произведение чётного и нечётного числа — чётное число.
5. Числовые головоломки.
С числами придумано много головоломок.
Например, латинский квадрат. В этой головоломке нужно заполнить квадратную таблицу числами так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце были представлены все эти числа ровно по 1 разу:
Разновидностью латинских квадратов является популярная головоломка судоку. В ней нужно заполнить числами квадратную таблицу так, чтобы все эти числа встречались по 1 разу не только в каждой строке и в каждом столбце, но и еще в каждой выделенной фигурке. Разберем, как решать такие головоломки.
Задача 1.
Решите судоку:
Решение:
Решить судоку — значит расставить числа в пустые клетки. В этой задаче квадрат имеет 4 строки и 4 столбца (4 на 4). Значит, заполнять его нужно числами 1, 2, 3, 4.
Нужно, чтобы в каждой строке, в каждом столбце и в каждом выделенном маленьком квадратике (2 на 2) присутствовали все эти 4 числа.
Посмотрев внимательно на строчки, можно сразу увидеть клетку, которую можно заполнить (выделена желтым цветом):
В первой строке не хватает только числа 2, его мы пишем в желтую клетку.
Теперь посмотрим на левый верхний квадратик 2 на 2: в нем теперь тоже не хватает только одного числа (клетка отмечена желтым), это число 4:
Заполняем желтую клетку. Теперь мы можем заполнить нижнюю клетку в первом столбце.
Далее можно заполнить вторую клетку в нижней строке. Можно увидеть, что во втором столбце не хватает чисел 1 и 4, но 1 в нижнюю клетку поставить нельзя, так как в нижней строке уже есть 1. Поэтому ставим 4.
И, продолжая таким образом, заполняем таблицу полностью:
Последний квадрат полностью заполнен, это и есть решение судоку.