Головы и ноги.
К теме «Головы и ноги» относятся задачи на подсчет голов, ног, ушей, хвостов, глаз и других частей различных существ. Кроме того, в этой теме рассматриваются и другие задачи, которые решаются похожим образом. Удобнее всего такие задачи решать графически, то есть с помощью рисунков и схем. Рассмотрим несколько задач.
1. Головы, ноги и не только.
Задача 1.
В вольере зоопарка гуляли жирафы и страусы. У них было 5 голов и 16 ног. Сколько было жирафов и сколько страусов?
Решение.
Сначала вспомним, что у жирафов и страусов по 1 голове. Значит, раз голов было 5, то и всего животных было 5. У страусов по 2 ноги, а у жирафов по 4.
Нарисуем схематично 5 голов:
Предположим, что все животные в вольере — страусы, а жирафов нет. Поскольку у страусов по 2 ноги, то пририсуем каждой голове по 2 ноги:
Тогда получается, что у животных в вольере 2+2+2+2+2=10 ног. А должно быть 16 ног, то есть не хватает 6 ног.
Добавить жирафов и страусов мы не можем, потому что тогда увеличится количество голов.
Чтобы увеличить количество ног, и при этом не изменить количество голов, заменим 1 страуса на 1 жирафа.
Поскольку у жирафа 4 ноги, то пририсуем одному страусу еще 2 ноги — получится жираф:
Теперь получилось всего 12 ног, не хватает еще 4 ноги.
Заменим еще 1 страуса на 1 жирафа:
Теперь получилось всего 14 ног, не хватает еще 2 ноги.
Заменим еще 1 страуса на 1 жирафа:
Теперь получилось всего 16 ног, как и указано в условии задачи.
Таким образом, у нас получилось 3 жирафа и 2 страуса.
Замечание. Можно заметить, что при замене 1 страуса на 1 жирафа количество голов остается прежним, а количество ног увеличивается на 2.
Чтобы получить 16 ног вместо 10, нужно 3 страусов заменить на 3 жирафов.
Ответ: 3 жирафа и 2 страуса.
По мере усложнения задач использовать графический метод решения становится затруднительно, так как рисовать нужно довольно много. Поэтому постепенно переходим к решению задач путем логических рассуждений.
Есть много задач, в которых не упоминаются головы и ноги, но решаются они похожим образом. Рассмотрим одну из них.
Задача 2.
В школьном буфете пирожки с вишней стоят 20 рублей, пирожки с мясом — 30 рублей, а пирожки с рисом — 10 рублей. Миша купил 12 пирожков с вишней, с мясом и с рисом и заплатил за них 200 рублей. Сколько пирожков с вишней купил Миша, если ровно половина всех купленных пирожков была с рисом?
Решение.
Решим эту задачу, не рисуя схему, а только лишь рассуждая.
Поскольку половина всех пирожков (то есть 12:2=6 штук) была с рисом, то на них Миша потратил 6*10=60 рублей.
Остальные 6 пирожков были с вишней и с мясом, и на них Миша потратил 200-60=140 рублей.
Предположим, что все эти 6 пирожков были с вишней, и стоили 20 рублей за пирожок.
6 пирожков с вишней стоят 6*20=120 рублей. Но Миша потратил 140 рублей, то есть на 20 рублей больше.
Заменим 1 пирожок с вишней на 1 пирожок с мясом. Поскольку пирожок с мясом на 10 рублей дороже, то стоимость 6 пирожков увеличится на 10 рублей.
А чтобы стоимость пирожков увеличилась на 20 рублей, нужно 2 пирожка с вишней заменить на 2 пирожка с мясом. Остальные 4 пирожка так и останутся с вишней.
Таким образом, Миша купил 6 пирожков с рисом, 2 пирожка с мясом и 4 пирожка с вишней.
Ответ: 4 пирожка.
2. Если чего-то поровну.
По-другому решаются задачи, если в них сказано, что чего-то (например, ног или голов) поровну. Рассмотрим такие задачи.
Задача 3.
В корзинке сидели 9 котят и утят. Лапок у котят и утят было поровну. Сколько было котят и сколько утят?
Решение.
У котёнка 4 лапки, а у утёнка — 2.
У 1 котёнка столько же лапок, сколько у 2 утят.
Нарисуем схематично всех котят и утят:
Разделим их на тройки «1 котёнок и 2 утёнка»:
Поскольку в каждой тройке количество лапок у котят и утят одинаково, то и общее количество лапок котят и утят будет одинаково.
Теперь посчитаем, сколько котят и сколько утят у нас получилось. Получилось 3 котёнка и 6 утят.
Ответ: 3 котёнка и 6 утят.
Задача 4.
На лугу играли котята и утята. Их было поровну, а лапок у котят было на 8 больше, чем у утят. Сколько всего было котят и утят?
Решение.
Поскольку котят и утят было поровну, то сравним сначала количество лапок у 1 котёнка и 1 утёнка. У котёнка на 2 лапки больше, чем у утёнка.
Рассмотрим пары «котёнок и утёнок».
В 1 такой паре количество лапок у котят на 2 больше, чем у утят.
В 2 таких парах количество лапок у котят на 2*2=4 больше, чем у утят.
В 3 таких парах количество лапок у котят на 3*2=6 больше, чем у утят.
В 4 таких парах количество лапок у котят на 4*2=8 больше, чем у утят, как и требуется в условии задачи.
Значит, всего было 4 пары котят и утят, то есть 8.
Ответ: 8 котят и утят.