Задачи на разрезание.
На этом занятии мы будем решать задачи, связанные с разрезанием (делением на части) геометрических фигур. Как решать такие задачи? Конечно, можно взять в руки ножницы, вырезать фигуры из бумаги и разрезать их на части. Если в первого раза не получится выполнить требования задачи, то вырезать фигуру заново и попробовать еще раз. Но гораздо проще начертить фигуру на листе бумаги и «разрезать» понарошку: например, раскрасить нужные части в разные цвета или жирно выделить линии разреза.
1. Разрезание фигур на части.
В задачах этого типа требуется разделить («разрезать») фигуру на другие, описанные в задаче, фигуры.
При решении таких задач нужно внимательно читать условие. А условия могут быть разные:
- Как нужно делать разрез: по линиям сетки (если на фигуре уже нанесена сетка из вспомогательных линий) или как угодно?
- На какие фигурки нужно разрезать: на одинаковые или разные?
- «Зеркальные» фигурки (когда одна фигурка является зеркальным отражением другой) считаются одинаковыми или разными?
Задача 1.
На рисунке представлена фигура, состоящая из 6 клеточек. Разрежьте её на две одинаковых фигурки меньшего размера.
Решение.
В условии задачи ничего не сказано о том, как нужно делать разрез. Поэтому возможны варианты: можно резать по линиям сетки (то есть по сторонам клеточек) или не обращать внимания на сетку.
1) Получится ли разрезать фигуру на 2 одинаковых части, если резать по линиям сетки? Наша фигура состоит из 6 клеток. Если ее разрезать на 2 одинаковые части по линиям сетки, то каждая из получившихся частей будет состоять из 3 целых клеток. Фигурки из 3 клеток — это прямоугольник или уголок:
На прямоугольники фигуру разрезать не получится, а на уголки получится:
2) Получится ли разрезать фигуру на 2 одинаковые части, если резать не по линиям сетки? Можно заметить, что наша фигура имеет ось симметрии. Если разрезать ее по оси симметрии, то получится две фигурки, являющиеся зеркальным отражением друг друга. Если в условии задачи не указано, что такие фигурки считаются разными, то можно считать их одинаковыми. И тогда получится еще одно решение задачи:
Задача 2.
Разрежьте фигуру по сторонам клеток на 2 равные части. Разрежьте эту же фигуру на 3 равные части.
Решение.
Поскольку в условии задачи не сказано другое, будем считать, что равные фигурки — это такие фигурки, которые можно вырезать из бумаги, наложить друг на друга, и они совпадут. Таким образом, фигурки, являющиеся зеркальным отображением друг друга, будем считать равными.
В задаче сказано, что разрезы нужно делать по линиям сетки, значит, части тоже будут состоять из целого количества клеток.
Вся фигура состоит из 18 клеток. Значит, если нам удастся разрезать ее на 2 равные части, то каждая часть будет состоять из 9 клеток. Попробовав разные варианты, можно получить следующее разрезание:
А если фигуру удастся разрезать на 3 равные части, то каждая часть будет состоять из 6 клеток. Попробовав разные варианты, можно получить следующее разрезание:
2. Разрезание фигур прямыми разрезами.
В этих задачах тоже нужно разрезать фигуру на части, но только прямолинейными разрезами. Это значит, что через фигуру нужно провести указанное количество прямых линий («разрезов»). Нужно иметь в виду, что прямолинейный разрез не может начаться или кончиться где-то в середине фигуры, разрез проходит через всю фигуру.
Интересно, что одним прямолинейным разрезом выпуклую фигуру можно разрезать только на две части, а невыпуклую фигуру — на большее количество частей.
Задача 3.
На день рождения Васи испекли большой торт в виде цифры 7. Разрежьте торт двумя прямолинейными разрезами на 6 частей.
Решение.
Одним прямолинейным разрезом такой торт можно разрезать на 2 или на 3 части:
Можно заметить, что во втором случае один разрез фактически превращается в два: в верхней и в нижней части торта.
Если аналогично сделать еще один разрез, то получится 4 или 5 частей:
А если во втором случае провести разрезы так, чтобы они пересекались на торте, то получится 6 частей:
Этот рисунок и будет ответом.