Логика.
Все математики обладают способностью логически рассуждать и делать логические выводы. На этом занятии мы продолжим решать задачи на логику.
При решении будем использовать схемы и таблицы.
1. Рисуем схемы.
Основная сложность при решении логических задач – это необходимость прочитать текст и удержать его весь в голове. Обычно в логических задачах приводятся утверждения для нескольких персонажей и их свойств. Чтобы легче справиться с этой информацией, ничего не забыть и сделать правильные выводы, бывает очень полезно нарисовать схему.
Задача 1.
Алеша, Боря и Ваня раскрашивали картинки карандашами трех цветов: красным, синим и зеленым. Алеша раскрашивал не красным и не синим, Ваня – не синим. Какой карандаш был у каждого из мальчиков?
Решение.
В этой задаче вопрос задан относительно трех мальчиков (персонажи) и трех цветов карандашей (свойства), причем каждый мальчик использовал карандаш только одного цвета и все мальчики рисовали разными карандашами.
Нарисуем схему персонажей и их свойств.
Теперь на основе утверждений задачи сделаем выводы.
«Алеша раскрашивал не красным и не синим». Вывод: Алеша раскрашивал зеленым карандашом.
Отметим это стрелкой на схеме.
«Ваня – не синим». Вывод: Ваня раскрашивал красным или зеленым. Но зеленый карандаш использовал Алеша (смотри предыдущий вывод), значит, Ваня раскрашивал красным.
Отметим это стрелкой на схеме.
Теперь по схеме видно, что для Бори остался только один карандаш – синий. Отметим это стрелкой.
Ответ: у Алеши был зеленый карандаш, у Бори – синий, у Вани – красный.
Задача 2.
Сестры Маша, Даша и Катя едят на завтрак кашу. Маша и Даша едят гречневую кашу, а Катя – рисовую. Кашу с молоком любит есть только Маша. Кто ест гречневую кашу без молока?
Решение.
В этой задаче персонажи могут обладать несколькими одинаковыми свойствами. На схеме это будет отражено стрелками, ведущими от персонажа к свойствам.
Отметим стрелками на схеме утверждения задачи.
«Маша и Даша едят гречневую кашу, а Катя – рисовую».
«Кашу с молоком любит есть только Маша». Вывод: Даша и Катя едят кашу без молока.
Чтобы найти ответ на вопрос задачи, нам нужно определить, от каких персонажей стрелки идут одновременно к свойствам «гречневая каша» и «без молока». На нашей схеме это Даша.
Ответ: гречневую кашу без молока ест Даша.
Задача 3.
Ребята решили поиграть в казаки-разбойники. Чтобы разделиться на команды, они кинули жребий. Оказалось, что в команде «Казаки» три человека, а в команде «Разбойники» два человека. Андрей и Саша в разных командах, Гена и Андрей тоже в разных, а Витя и Женя – в одной. Кто в какой команде?
Решение.
Персонажи в этой задаче – мальчики, свойства – названия команд. Поскольку из задачи неизвестно, кто в какой команде, на схеме названия команд пока не указываем.
Зато можем расставить несколько стрелок. Если Андрей и Саша в разных командах, Гена и Андрей тоже в разных, то стрелка от Андрея указывает на одну команду, а стрелки от Саши и Гены – на другую.
Поскольку Витя и Женя в одной команде, то стрелки от них будут показывать на одну и ту же команду. Во вторую команду Витю и Женю поставить нельзя, т. к. в ней уже двое ребят (Саша и Гена), а по условию задачи в командах 3 и 2 человека. Значит, вывод: Витя и Женя в первой команде.
Теперь, когда все игроки распределены по командам, мы можем сделать вывод о названиях самих команд. По условию задачи, в команде «Казаки» – 3 человека, а в команде «Разбойники» – 2 человека. Значит, первая команда на нашей схеме – это команда «Казаки», а вторая – «Разбойники».
Ответ: Андрей, Витя и Женя в команде «Казаки», Саша и Гена в команде «Разбойники».
Задача 4.
Том, Сэм, Билл, Кейт и Энни встали в очередь за мороженым. Кейт стоит впереди Сэма, но позади Тома. Кейт и Энни стоят рядом. Билл стоит рядом с Энни, но не рядом с Сэмом. В каком порядке стоят ребята?
Решение.
Начнем «расставлять» ребят, в соответствии с условиями задачи.
«Кейт стоит впереди Сэма, но позади Тома». Значит, Кейт, Сэм и Том расположены в очереди в таком порядке (возможно, не рядом):
Том Кейт Сэм
«Кейт и Энни стоят рядом». Значит, возможны такие варианты (синим цветом выделен человек, которого добавляем в очередь):
- Том Кейт Энни Сэм
- Том Энни Кейт Сэм
«Билл стоит рядом с Энни, но не рядом с Сэмом.»
В первом варианте Билла поставить некуда: впереди Энни нельзя поставить, потому что Кейт и Энни должны стоять рядом, и позади Энни нельзя поставить, потому что тогда Билл окажется рядом с Сэмом.
Во втором варианте Билла можно поставить только перед Энни. Тогда он будет и рядом с Энни, и не рядом с Сэмом. При этом все остальные условия задачи будут выполнены.
Итак, дети стоят в очереди так:
Том Билл Энни Кейт Сэм
Ответ: Том, Билл, Энни, Кейт, Сэм.
2. Строим таблицы.
Когда персонажей в задаче больше двух, в решении удобно использовать таблицу. Таблица помогает рассмотреть все варианты, ничего не забыть и не потерять. Рассмотрим самую простую логическую задачу.
Задача 5.
У девочек Землянички, Лимоны и Апельсинки есть щенки Хенна, Мармеладка и Пирожок (у каждой девочки — 1 щенок). Мармеладка — не у Землянички. У Лимоны — щенок-девочка. У Апельсинки — не Пирожок и не Хенна. Как зовут щенка каждой из девочек?
Решение.
Эту задачу легко решить в уме, но мы на ее примере посмотрим, как можно построить таблицу.
В задаче присутствуют девочки, им будут соответствовать строки таблицы, и щенки, им будут соответствовать столбцы:
Ставим в клетку таблицы «+», если у этой девочки есть этот щенок, и «-«, если нет.
Так выглядит условие задачи:
Мы видим, что у Апельсинки — не Хенна и не Пирожок. Значит, у Апельсинки — Мармеладка. Ставим «+» в соответствующей клетке. И сразу можно поставить «-» в оставшихся клетках 2-го столбца, так как больше ни у кого Мармеладки быть не может:
Теперь видим, что Пирожок — не у Лимоны и не у Апельсинки. Значит, Пирожок — у Землянички. Ставим «+» в соответствующей клетке. И сразу можно поставить «-» в оставшихся клетках 1-й строки, так как у Землянички других щенков быть не может быть не может:
Теперь видим, что Хенна — не у Землянички и не у Апельсинки. Значит, Хенна — у Лимоны:
Таблица заполнена полностью, и мы можем ответить на вопрос задачи.
Ответ: у Землянички — Пирожок, у Лимоны — Хенна, у Апельсинки — Мармеладка.
С помощью таблиц можно решать и более сложные задачи:
- задачи в которых некоторые утверждения ложны и заранее неизвестно, какие.
- задачи, в которые истинность утверждения зависит от выполнения некоторого условия.
Задача 6.
Подруги Аня, Валя, Галя и Даша занимаются в четырех разных кружках: танцевальном, вокальном, театральном, художественном. Причем каждая девочка посещает только один кружок. На вопрос, кто в каком кружке занимается, девочки ответили:
Аня: «Я – в вокальном, а Даша – в театральном».
Валя: «Я – в вокальном, а Аня – в танцевальном».
Галя: «Я – в вокальном, а Даша – в художественном».
Даша: «Каждая из трех моих подруг один раз ошиблась и один раз ответила верно».
Кто в каком кружке занимается, если Даша сказала правду?
Решение.
Поскольку неизвестно, кто из девочек в каком утверждении ошибся, то мы будем делать предположения.
1) Предположим, что Аня про себя сказала правду, а про Дашу ошиблась. Построим таблицу.
По нашему предположению, Аня занимается в вокальном кружке, а Даша – не в театральном.
Ставим в таблице соответствующие «+» и «―». Не забываем, что в каждой строке и в каждом столбце будет ровно по одному «+».
Рассмотрим теперь утверждение Вали: «Я – в вокальном, а Аня – а танцевальном». По нашему предположению, Аня занимается в вокальном кружке. Значит, Валя ошиблась в своем втором утверждении, а в первом сказала правду. То есть Валя занимается в вокальном кружке. Но это невозможно, потому что в вокальном кружке занимается Аня, и все девочки занимаются в разных кружках.
Получили противоречие. Следовательно, наше предположение о высказываниях Ани неверно.
2) Значит, в утверждении Ани: «Я – в вокальном, а Даша – в театральном» первая часть ошибочная, а вторая часть верная. То есть Даша занимается в театральном кружке, а Аня – не в вокальном.
Построим таблицу, внесем «+» и «―» в соответствии с нашим выводом:
Теперь рассмотрим утверждение Вали: «Я – в вокальном, а Аня – а танцевальном». Валя могла сказать верно и про себя, и про Аню. И мы пока не можем сделать однозначный вывод, в какой части ошибка, а в какой нет.
Тогда рассмотрим утверждение Гали: «Я – в вокальном, а Даша – в художественном». Поскольку мы выяснили, что Даша занимается в театральном кружке (и поставили в таблицу «+»), то Галя ошиблась в отношении Даши, а в отношении себя сказала верно. Значит, Галя занимается в вокальном кружке. Ставим в таблицу соответствующие «+» и «―».
Возвращаемся к утверждению Вали: «Я – в вокальном, а Аня – в танцевальном». Из таблицы видно, что в вокальном кружке Валя заниматься не может. Значит, она ошиблась в утверждении относительно себя, и сказала верно относительно Ани. Аня занимается в танцевальном кружке, а Валя – не в вокальном. Заполним таблицу в соответствии с нашими выводами:
Таблица полностью заполнена, и мы можем дать ответ на вопрос задачи.
Ответ: Аня занимается в танцевальном кружке, Валя – в художественном, Галя ― в вокальном, Даша – в театральном.
Задача 7.
Миша, Петя и Егор конструируют машины. Один из них собирает реактивный самолет, другой – пожарную машину, третий – подводную лодку. Если Миша собирает самолет, то Петя – не пожарную машину. Если Егор собирает не пожарную машину, то Миша – самолет. Если Петя собирает не самолет, то Егор собирает лодку.
Кто что конструирует?
Решение.
Как и в предыдущей задаче, мы будем делать предположения.
1) Предположим, что Миша собирает самолет. Тогда, по условию задачи, Петя собирает не пожарную машину. Построим и начнем заполнять таблицу.
Как видно из таблицы, для Пети остается только один вариант – подводная лодка. Укажем это в таблице.
Теперь единственный свободный вариант для Егора – пожарная машина.
Заполнив таблицу, мы получим такой ответ: Миша собирает самолет, Петя – лодку, Егор – пожарную машину.
Но этот ответ не согласуется с условиями задачи! «Если Петя собирает не самолет, то Егор собирает лодку». Значит, наше предположение неверно.
2) Значит, Миша собирает не самолет. Тогда из утверждения «Если Егор собирает не пожарную машину, то Миша – самолет» можно сделать вывод, что Егор собирает пожарную машину. Построим таблицу.
Как видно из таблицы, для Пети остается один вариант – реактивный самолет. Тогда для Миши останется подводная лодка. Заполняем таблицу:
Получаем такой ответ: Миша собирает подводную лодку, Петя – реактивный самолет, Егор – пожарную машину.
И этот ответ не противоречит условиям задачи.
Ответ: Миша собирает подводную лодку, Петя – реактивный самолет, Егор – пожарную машину.