Невезучий Петя.
В жизни довольно часто приходится сталкиваться с более или менее удачливыми людьми. Кому-то везёт, и обстоятельства для него складываются благоприятно, а кому-то не везёт, и ему приходится изрядно потрудиться, чтобы преодолеть препятствия и достичь цели.
В задачах сегодняшней темы, как правило, речь идёт о невезучем мальчике Пете или других невезучих персонажах, которым не везёт никогда. Но математики не привыкли полагаться на везение. Поэтому, мы будем помогать Пете и другим персонажам добиваться цели тогда, когда результат может быть случайным. Для этого мы будем рассматривать самый неудачный, наихудший случай и оценивать, как получить нужный результат даже в этом случае. При этом мы постараемся достичь цели с наименьшими затратами.
Итак, при решении задач этого занятия важно:
- рассмотреть наихудший случай из возможных,
- достичь результата с наименьшими затратами.
Чтобы понять, какой случай является наихудшим, нужно, чтобы была какая-то цель или требование, которое нужно выполнить. Например, если в кармане лежат разноцветные шарики, и невезучему Пете нужно достать два одинаковых по цвету, то наихудший случай — это когда ему попадаются шарики разных цветов. Если, наоборот, Пете нужно достать хотя бы два шарика, разных по цвету, то наихудший случай — это когда ему попадаются только одинаковые шарики.
Рассмотрим несколько задач.
Задача 1.
В ящике лежат 8 одинаковых на ощупь машинок: 3 красных и 5 синих. Петя хочет не глядя достать из ящика синюю машину. Сколько машинок он должен достать, чтобы среди них точно была синяя?
Решение.
Цель Пети — достать синюю машинку. Самый неудачный, наихудший случай — когда все взятые им машинки красные. Так как красных машинок всего 3, то взять 1, 2 или 3 машинки недостаточно — они все могут оказаться красными. Значит, Пете нужно взять не меньше 4 машинок.
4 машинки взять достаточно. Так как красных машинок всего 3, то среди любых 4 машинок красных будет не больше 3, а синих — не меньше 4-3=1. То есть среди любых 4 машинок точно будет хотя бы 1 синяя.
В принципе, Петя может достать больше 4 или даже все 8 машинок, тогда у него тоже будет синяя машинка. Но мы всегда хотим решить задачу с наименьшими затратами, то есть не доставать лишнего, а достать самое маленькое количество предметов, нужное нам для достижения цели.
Ответ: 4 машинки.
Важное замечание.
При решении задач этой темы нужно ответить на 2 вопроса:
1) Почему меньше предметов взять нельзя?
2) Почему именно столько взять достаточно?
В задаче 1 на 1-й вопрос мы ответили, приведя пример, когда 3 или меньше машинок взять нельзя — среди них может не оказаться синей машинки, цель не будет достигнута. На 2-й вопрос мы ответили, доказав, что среди любых 4 машинок всегда будет синяя.
Задача 2.
Теперь в ящике 10 одинаковых на ощупь машинок: 2 зелёных, 3 красных и 5 синих. Петя хочет не глядя достать из ящика синюю и зеленую машины. Какое наименьшее количество машинок он должен достать, чтобы среди них точно были синяя и зелёная?
Решение.
Снова рассматриваем наихудший случай, когда среди взятых машинок нет синей или зелёной.
Не синих (красных и зелёных) машинок всего 3+2=5. Поэтому, если Петя возьмёт 5 машинок или меньше, то ему могут попасться только красные и зелёные. 5 машинок взять недостаточно.
Не зелёных машинок (то есть красных и синих) всего 3+5=8. Поэтому, если Петя возьмёт 8 машинок или меньше, ему могут попасться только красные и синие. И 8 машинок тоже взять недостаточно.
Значит, нужно взять не меньше 9 машинок.
9 машинок взять достаточно. Если Петя возьмёт 9 машинок, то в ящике останется всего 1 машинка. Если оставшаяся машинка синяя, то Петя взял 3 красных, 2 зелёных и 4 синих машинки. Если оставшаяся машинка зелёная, то Петя взял 3 красных, 1 зелёную и 4 синих машинки. Если оставшаяся машинка красная, то Петя взял 2 красных, 2 зелёных и 5 синих машинок. Во всех случаях, среди взятых 9 машинок будет и синяя, и зелёная.
Ответ: 9 машинок.
Замечание.
В задаче 2 мы ответили на вопрос «Почему взять меньше 9 машинок недостаточно?», приведя пример, когда среди 8 машинок не будет зелёной машинки. На вопрос «Почему 9 машинок взять достаточно?» мы ответили, доказав, что среди взятых 9 машинок точно будет и синяя, и зелёная.
Задача 3.
В коробке лежат шоколадные яйца с сюрпризом. В некоторых яйцах игрушечные белки, в других – зайцы. Какое наименьшее количество яиц надо достать, чтобы среди них точно было 2 одинаковые игрушки?
Решение.
Если мы хотим получить 2 одинаковых игрушки, то наихудший случай — это когда попались разные игрушки. У нас всего 2 вида игрушек, поэтому, если взять 2 яйца, то могут попасться белка и заяц. Поэтому 2 яйца взять недостаточно, нужно взять не меньше 3 яиц.
3 яйца взять достаточно, так как среди любых трёх яиц будет хотя бы 2 с одинаковыми игрушками. Если это не так, и яиц с каждым видом игрушек по 1, то яиц всего 1+1=2, а их на самом деле 3.
Таким образом, нужно взять хотя бы 3 яйца.
Ответ: 3 яйца.
Задача 4.
У хозяйки в коробке лежат 10 одинаковых пар тапочек. Какое наименьшее количество тапочек нужно взять гостю из коробки не глядя, чтобы среди них точно попалась пара?
Решение.
Пара состоит из левой и правой тапочки. Цель гостя — достать из коробки пару. Наихудший случай — это когда из тапочек пару составить нельзя, то есть попались только левые или только правые тапочки.
В коробке есть 10 левых и 10 правых тапочек. Если гость возьмёт 10 тапочек или меньше, они все могут оказаться на одну ногу, например, все левые. Значит, нужно взять не меньше 11 тапочек.
11 тапочек взять достаточно, так как среди них точно будет хотя бы 1 пара. Если это не так, и ни одной пары нет, то все взятые тапочки — на одну ногу, а значит, всего тапочек не больше 10, а их на самом деле 11.
Таким образом, гостю нужно взять хотя бы 11 тапочек.
Ответ: 11 тапочек.
Задача 5.
У Пети в кармане лежат шарики трёх цветов. Чтобы точно вытащить не глядя 1 красный шарик, нужно взять хотя бы 10 шариков, чтобы вытащить 1 зелёный — хотя бы 15 шариков, чтобы вытащить 1 синий — хотя бы 8 шариков. Сколько всего шариков в кармане у Пети? А сколько шариков каждого цвета?
Решение.
В задаче сказано: «чтобы точно вытащить не глядя 1 красный шарик, нужно взять хотя бы 10 шариков». Это значит, не красных шариков (то есть зелёных и синих) — 9 штук. Действительно, если не красных шариков больше 9, то среди 10 шариков может не быть красного. А если не красных шариков меньше 9, то чтобы попался красный шарик достаточно взять меньше 10 шариков, а по условию задачи — нужно взять не меньше 10.
Аналогично, не зелёных шариков (то есть красных и синих) — 14 штук, а не синих шариков (то есть красных и зелёных) — 7 штук.
Итак, зелёных и синих шариков — 9, красных и синих — 14, красных и зелёных — 7. Если сложить эти три числа, то получим 30 шариков, причем все шарики мы посчитаем дважды. То есть всего шариков будет 30:2=15.
Всего шариков 15, а не красных — 9. Значит, красных шариков — 15-9=6 штук. Аналогично, зелёных шариков — 1, синих шариков — 8.
Ответ: всего 15 шариков, из них 6 красных, 1 зелёный и 8 синих.