Числа и цифры. Чётность.
1. Числа и цифры. Чётность.
Что такое числа и цифры, мы узнали на занятии 13. Рекомендуем повторить.
На этом занятии мы познакомимся еще с несколькими понятиями и докажем свойства суммы и произведения чисел.
Число — это основное понятие математики, которое используется для количественной характеристики, сравнения, нумерации предметов и их частей. Можно сказать, что числа — это математические «слова», имеющие определённый смысл.
Цифры — это знаки, которыми записываются числа. Цифр всего 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Если число состоит из одной цифры, то оно называется однозначным, если более, чем из одной цифры — многозначным (двузначным, трёхзначным и так далее).
Совершать арифметические действия можно только с числами. Если мы говорим о действиях с цифрами (например, о сумме цифр), то подразумеваем, что складываются однозначные числа, записанные этими цифрами.
Целыми называются числа, обозначающие целое количество предметов, а не часть или части этого количества. 0, 1, 2, 3, 4, 5, … — это целые числа.
Натуральными называются числа, которые издавна используются для порядкового счета: 1, 2, 3, 4, 5, … Число 0 не является натуральным.
Чётным называется такое целое число, которое можно разделить на две равные части без остатка. Это значит, что чётное число можно представить в виде суммы двух одинаковых чисел.
Нечётным называется такое целое число, которое нельзя разделить на две равные части без остатка.
Например, число 2 — это чётное число, так как его можно представить в виде суммы двух равных чисел: 2=1+1. Или 10=5+5, значит, 10 — чётное число. А число 7 — нечётное, так как его нельзя представить в виде суммы двух равных чисел.
Если у меня есть 8 конфет, я могу поровну разделить их между двумя друзьями. Каждому достанется по 4 конфеты. Если же у меня 11 конфет, то когда я попытаюсь их поделить, каждому достанется по 5 конфет, и 1 конфета останется лишней. Число 8 делится на 2, оно чётное. Число 11 не делится на 2, оно нечётное.
Кроме того, можно заметить, что чётное количество предметов можно разбить на пары. Например, 8 конфет раздали двум друзьям, то есть разделили на две равные части: 4 конфеты одному другу и 4 конфеты другому другу. Теперь, взяв из каждой части по 1 конфете, мы можем составить пару конфет. А так как в каждой части по 4 конфеты, то мы сможем составить 4 пары конфет. Если же конфет нечётное количество, то 1 конфета окажется без пары.
В числовом ряду чётные и нечётные числа чередуются. Если мы прибавим 1 к чётному числу, то получим нечётное, если прибавим 1 к нечетному, то получим четное.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 …
Число 0 — чётное число. Действительно, если у меня 0 конфет, я могу разделить их поровну между двумя друзьями: каждому достанется 0 конфет (0=0+0).
Цифры, обозначающие чётные числа, называются чётными цифрами. Чётные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8.
Цифры, обозначающие нечётные числа, называются нечётными цифрами. Нечётные цифры — это 1, 3, 5, 7, 9.
Важное правило:
Если число заканчивается чётной цифрой, то оно чётное.
Если число заканчивается нечётной цифрой, то оно нечётное.
Например, число 78 заканчивается на 8 и оно четное. А число 35 — нечётное, так как заканчивается на 5.
Задача 1.
Напишите самое большое нечётное двузначное число, в котором сумма цифр равна 7.
Решение.
Так как нужно составить нечётное число, то число должно заканчиваться на 1, 3, 5, 7 или 9.
Если последняя цифра равна 1, то первая равна 7-1=6.
Если последняя цифра равна 3, то первая равна 7-3=4.
Если последняя цифра равна 5, то первая цифра равна 7-5=2.
Если последняя цифра равна 7, то первая цифра равна 7-7=0, но с 0 число начинаться не может.
Последняя цифра не может быть равна 9, так как сумма цифр числа равна 7.
Таким образом, мы можем составить такие нечётные числа с суммой цифр, равной 7: 61, 43, 25. Самое большое среди них — это число 61.
Ответ: 61.
Задача 2.
Можно ли разрезать фигуру по линиям клеточек на две равные части?
Решение.
Так как фигуру нужно разрезать по линиям клеток, то в каждой из двух частей будет содержаться целое количество клеток. Если разрезать фигуру на две равные части, то эти части будут состоять из равного количества клеток.
Сосчитаем количество клеток, из которых состоит фигура. Их 15, то есть нечётное количество. Значит, общее количество клеток нельзя разделить на две равные части. Поэтому фигуру нельзя разрезать на две равные части по линиям клеток.
Ответ: нельзя.
2. Чётность суммы, разности и произведения.
Пусть у нас есть 2 чётных числа. Какой будет их сумма, чётной или нечётной?
Если числа чётные, то значит каждое из них можно разделить на 2 равные части.
Поэтому, если мы сложим числа вместе, то сумму тоже можно будет разделить на 2 равные части. Сумма будет чётной:
А если одно число чётное, а второе нечётное? В этом случае одно число мы можем разделить на 2 равные части, а когда будем делить второе, то получим единицу в остатке.
Когда мы сложим числа, то тоже получим единицу в остатке. Сумма будет нечётной:
Рассмотрим теперь случай, когда оба числа нечётные.
Когда мы сложим их, то две единицы из остатков тоже сложатся вместе, и их можно будет поделить пополам. Сумма будет чётной:
Точно так же можно показать, что разность двух чётных чисел будет чётной, двух нечётных чисел — чётной, а чётного и нечётного числа — нечётной.
Рассмотрим теперь произведение двух чисел m и n.
Если оба числа четные, то произведение m*n — это сумма n слагаемых, равных m (число m сложили n раз), то есть сумма четного количества четных слагаемых. Как мы выяснили, сумма двух чётных слагаемых чётна. Значит, сумма первого и второго слагаемого в этой сумме чётна. Затем сложим эту сумму с третьим чётным слагаемым, снова получим чётное число. Сложим его с четвёртым слагаемым, снова получим чётное число, и так далее. В результате получим, что сумма четного количества четных слагаемых чётна.
Если одно из чисел чётно, а другое нечётно, то их произведение — это сумма нечётного количества чётных слагаемых. Аналогично предыдущему случаю, эта сумма будет чётной.
И, наконец, если оба числа нечётные, то их произведение — это сумма нечетного количества нечетных слагаемых. В этом случае разобьем все слагаемые, кроме одного, на пары. В каждой паре сумма будет чётной. Получим, что произведение равно сумме некоторого количества четных слагаемых и еще одного нечётного слагаемого. Эта сумма будет нечетной.
Итак, мы получили следующие правила:
- Сумма и разность двух чётных чисел — чётное число.
- Сумма и разность двух нечётных чисел — чётное число.
- Сумма и разность чётного и нечётного числа — нечётное число.
- Произведение двух чётных чисел — чётное число.
- Произведение двух нечётных чисел — нечётное число.
- Произведение чётного и нечётного числа — чётное число.
Задача 3.
Аня сложила 2 целых числа и в результате получила нечётное число. Гриша перемножил те же самые числа. Чётный или нечётный результат он получил, если оба сосчитали правильно?
Решение.
Сумма двух чисел будет нечётной только тогда, когда одно слагаемое чётно, а второе нечётно. Значит, Аня складывала чётное и нечётное число. Произведение чётного и нечётного чисел — чётно. Значит, Гриша получил чётный результат.
Ответ: чётный.