Домино.
Домино — это настольная игра, состоящая из прямоугольных пластинок, называемых костяшками, костями, камнями или доминошками. Каждая доминошка состоит из двух квадратных половинок, на каждой половинке изображено несколько точек, которые обозначают число очков. В процессе игры в домино выстраивается цепь доминошек, соприкасающихся половинками с одинаковым числом очков. Такой способ построения цепочки называется правилом домино, а сама цепочка называется правильной.
Существует несколько разновидностей этой игры, но на этом занятии мы будет рассматривать традиционное домино.
В традиционном домино на половинках костяшек изображено от 0 до 6 точек. Полный набор составляют 28 костяшек, причем все костяшки различны, одинаковых в наборе нет:
Костяшка, на половинках которой изображено равное число очков, называется дублем. В традиционном наборе домино всего 7 дублей:
При построении цепочки доминошек дубли обычно кладут поперек цепочки. Цепочка костяшек может быть прямой, но чаще имеет несколько поворотов. В некоторых играх цепочка может выстраиваться в нескольких направлениях:
Все доминошки можно записать числами. Например, доминошку с очками 3 и 5 можно обозначить выражениями 3-5, 5-3, 3/5, 5/3, 35, 53.
Домино имеет множество интересных свойств, поэтому используется во многих математических задачах и головоломках. Рассмотрим некоторые из них.
Задача 1.
Ваня и Коля придумали такую игру с домино: выкладывать цепочки и угадывать, какие доминошки из цепочки спрятаны. Коля закрыл глаза, а Ваня выстроил из доминошек правильную цепочку, как на рисунке, затем перевернул три доминошки (а, б и в). Когда Коля открыл глаза, Ваня сообщил ему, что сумма очков на перевёрнутых доминошках равна 17. Сможет ли Коля угадать, какие доминошки перевёрнуты? Какие?
Решение.
Так как Ваня выстраивал доминошки по правилу домино, то они соприкасаются друг с другом половинками с одинаковым числом очков. Значит, можно точно сказать, что на левой половинке доминошки а — 3 очка, а на правой половинке доминошки в — 6 очков:
На оставшихся четырёх половинках в сумме будет 17-3-6=8 очков.
Доминошка б лежит поперёк цепочки, значит, это дубль, то есть на половинках этой доминошки одинаковое число очков. И на тех половинках, которые соприкасаются с доминошкой б, такое же число очков. Значит, на оставшихся четырёх половинках одинаковое число очков, а в сумме на них 8 очков. То есть на каждой половинке по 2 очка:
Получается, что Ваня перевернул доминошки 3-2, 2-2 и 2-6.
Ответ: доминошки 3-2, 2-2 и 2-6.
Задача 2.
Какую костяшку домино нужно вставить вместо нарисованной пунктиром?
Решение.
Как видим, здесь не используется правило построения цепочки (цепочки нет) и уникальность костяшек в наборе (костяшки на картинке повторяются). Но требуется вставить именно костяшку домино, то есть количество точек на половинках искомой костяшки должно быть от 0 до 6.
Попробуем догадаться, в соответствии с какой закономерностью расположены костяшки. Можно заметить, что костяшки расположены в виде таблицы из трех строк и трех столбцов. В первых двух строках и первых двух столбцах расположены по три костяшки: 2-3, 0-6, и 5-4. Чтобы это правило выполнялось для всей таблицы, на месте пунктирной костяшки не хватает костяшки 2-3.
Ответ: костяшку 2-3.
Задача 3.
Костяшки из набора домино сложили в коробку (смотрите рисунок). Как расположены костяшки?
Решение.
В этой задаче правило построения цепочек не используется, так как костяшки лежат в коробке, а не выстроены в цепочку. Но нужно учитывать, что костяшки — из набора домино, а значит, не могут повторяться.
Поскольку на рисунке видны только квадратные половинки доминошек, но не видны границы между доминошками, доминошки могут располагаться как вертикально, так и горизонтально.
Первая слева доминошка не может быть вертикальной 0-4, так как тогда соседняя с ней доминошка тоже будет 0-4, а в наборе нет одинаковых доминошек:
Значит, слева лежат две горизонтальные доминошки: 0-0 и 4-4:
Но тогда с правого края не может быть горизонтальных доминошек, иначе они будут тоже костяшками 0-0 и 4-4, потому крайняя правая костяшка — это вертикальная 4-0:
А вот соседняя с ней вертикальной быть не может (тогда она будет тоже 4-0). Рассуждая таким образом дальше, получаем такое расположение костяшек в коробке (разные костяшки раскрашены в разные цвета):
Ответ: на рисунке выше.
Задача 4.
Из набора домино взяли все костяшки с 0, 1 и 2 точками. Можно ли из всех этих костяшек построить замкнутую цепочку домино?
Решение.
Сначала определим, из каких костяшек требуется построить цепочку. Все они представлены на рисунке:
Замкнутая цепочка — это цепочка, у которой конец соприкасается с началом. При этом правило построения цепочки не должно нарушаться. Если из указанных костяшек такую цепочку построить можно, то она будет выглядеть так:
Если цепочка построена правильно, то в местах соприкосновения соседних костяшек образуются пары половинок с одинаковым числом очков:
А это значит, что, чтобы можно было расставить все доминошки в замкнутую цепочку, количество половинок с каждым числом очков должно быть четным. То есть, в нашем наборе должно быть четное число нулей, четное число единиц и четное число двоек. Как видно из рисунка выше, в нашем наборе четыре половинки «пусто», четыре половинки «1» и четыре половинки «2». И можно расставить доминошки, например, так:
Ответ: можно (на рисунке выше).
Упражнение.
А можно ли построить замкнутую цепочку из набора костяшек с 0, 1, 2, 3 очками? А незамкнутую? Попробуйте ответить на эти вопросы самостоятельно.