Развёртки и проекции.
1. Развёртки поверхностей фигур.
Многие люди, увлекающиеся поделками из бумаги, хорошо знакомы с развертками. Например, мы знаем, что, если свернуть прямоугольный лист бумаги, то получится трубочка, а из половины круга получается конус.
Развёртка поверхности — это такая плоская фигура, из которой, если ее вырезать, свернуть или согнуть в нескольких местах, а затем склеить, получится эта поверхность.
На рисунке выше прямоугольник — это развёртка трубочки, а полукруг — это развёртка конуса.
На этом рисунке показаны развёртки поверхностей еще нескольких фигур:
Одна и та же фигура может иметь несколько разных развёрток. Например, на этом рисунке показаны две развёртки треугольной пирамиды:
В задачах этого занятия мы будем определять, какая развёртка получается из данной фигуры, и, наоборот, какая фигура получается из данной развёртки.
Задача 1.
Какая развёртка получится из такой фигуры?
Решение.
Как видно на рисунке, фигура состоит из пятиугольника и 5 треугольников.
Значит, и развёртка состоит из таких же частей.
Поэтому развертки b и c не могли быть получены из этой фигуры, а развертка a соответствует фигуре.
Ответ: развёртка а.
2. Развёртки кубика.
Если бумажный кубик разрезать по рёбрам так, что его можно будет разложить на плоскости, мы получим развёртку кубика.
Нетрудно догадаться, что развёртка кубика составлена из 6 квадратов. Но не каждая фигура из 6 квадратов является развёрткой кубика.
Посмотрите на рисунок. Из первой фигуры получится склеить кубик, а из второй нет.
У кубика всего 11 разверток:
Если потренироваться складывать кубики из разных развёрток, то можно заметить, что противоположные грани кубика на развёртке соответствуют квадратам, расположенным на одной линии через квадрат друг от друга. Например, на этой развертке одинаковым цветом закрашены квадраты, которые в кубике будут противоположными гранями:
Если в развёртке нет квадратов, расположенных на одной линии через квадрат друг от друга, то противоположные грани будут находиться на концах «зиг-зага»: или . Например, на этой развертке одинаковым цветом закрашены квадраты, которые в кубике будут противоположными гранями:
Для развития пространственного воображения важно научиться определять вид кубика по развёртке и, наоборот, вид развёртки по виду кубика.
Задача 2.
Из какого кубика могла получиться такая развертка?
Решение.
Из кубика 2 такая развёртка получиться не могла, так как в кубике оранжевая и красная грани находятся рядом, а на развертке противоположны.
Из кубика 1 такая развёртка тоже получиться не могла. Рассмотрим вершину кубика и развертки, общую для синей, красной и желтой граней. Если мы будем двигаться на кубике вокруг этой вершины по часовой стрелке, то грани пройдем в порядке красная-синяя-желтая. А на развертке такой порядок возможен только при движении против часовой стрелки вокруг вершины.
Кубики 3 и 4 друг от друга отличаются порядком расположения граней при обходе вокруг общей вершины. При движении по часовой стрелке для кубика 3 порядок будет зелёная-оранжевая-жёлтая, а для кубика 4 — зелёная-жёлтая-оранжевая.
А в каком порядке эти грани располагаются на развёртке? Тут не так просто определить, ведь на развёртке у этих граней нет общей вершины. Попробуем преобразовать развёртку так, чтобы расположение граней в кубике не изменилось. Можно заметить, что оранжевая грань развертки при склейке будет иметь противоположные общие ребра с голубой гранью и с желтой гранью. Поэтому мы можем мысленно «отрезать» оранжевую грань от голубой и «приклеить» ее к желтой с противоположной стороны. А зеленую грань мы можем «отрезать» по верхнему ребру от красной грани и «приклеить» по левому ребру к желтой грани. Получится развёртка точно для такого же кубика, что и начальная развёртка:
Теперь по этой развертке мы можем определить порядок желтой, оранжевой и зеленой граней кубика. В развертке при обходе вокруг общей вершины по часовой стрелке порядок будет зелёная-оранжевая-жёлтая. Значит, эта развертка получена из кубика 3, поскольку в нем точно такой же порядок граней.
Ответ: указанная развертка получена из кубика 3.
3. Проекции фигур.
Проекцией фигуры называется изображение ее на плоскости. И это изображение зависит от того, как повёрнута фигура и под каким углом на нее смотрят.
В геометрии обычно рассматривается три проекции фигуры: вид спереди, вид сверху и вид слева.
Можно сказать, что каждая из этих проекций — это то, как мы видим фигуру, если смотрим на нее спереди, сверху или слева. На рисунке показаны фигуры и их виды спереди (розовым цветом), сверху (серым цветом) и слева (жёлтым цветом):
Если на проекции некоторые линии фигуры не видно, то их изображают пунктиром:
Обычно в задачах требуется нарисовать проекции фигуры или, наоборот, нарисовать фигуру по её проекциям.
Задача 3.
На рисунке дана фигура.
Какой из рисунков 1-4 является для этой фигуры видом слева?
Решение.
Если посмотреть на фигуру слева, то увидим квадрат, в котором сверху по центру имеется квадратная выемка. Это изображено на рисунке 1.
Ответ: рисунок 1.
4. Распиливание кубика.
К задачам на пространственное воображение относятся задачи, в которых большой куб распилен (или составлен) из более мелких кубиков. Возникают вопросы: сколько таких кубиков получится, какого они будут размера, какие у них будут свойства? В этом случае поможет правильный рисунок.
Задача 4.
Деревянный куб с ребром 10 см покрасили краской, а затем распилили на кубики с ребром 5 см.
Сколько кубиков получилось? Сколько среди них кубиков с одной окрашенной гранью, с двумя окрашенными гранями, с тремя окрашенными гранями?
Решение.
Поскольку нужно получить кубики со стороной 5 см, значит каждое ребро большого кубика надо распилить пополам. Попробуем нарисовать, как это будет выглядеть.
Из рисунка видно, что после распиливания получится 8 кубиков.
Что касается покраски, то можно заметить, что все получившиеся кубики одинаковые и имеют по 3 окрашенные и 3 неокрашенные грани.
Таким образом, среди получившихся кубиков нет ни одного с одной или двумя окрашенными гранями, а с тремя окрашенными гранями — все 8 кубиков.
Ответ: 8 кубиков, все они с тремя окрашенными гранями.