3-4 класс. Неделя 24 (с 18 по 25 марта). Теория.

Логика.

Основные понятия темы «Логика» и некоторые приёмы решения логических задач были рассмотрены на занятии 3 и занятии 11.

На этом занятии мы рассмотрим более сложные задачи, в которых используются утверждения, состоящие из нескольких частей, и, кроме того, нужно догадаться какие утверждения являются истинными, а какие ложными.

При решении логических задач очень важно уметь делать верные логические выводы. Рассмотрим некоторые правила, касающиеся сложных утверждений.

Пусть в задаче есть утверждение А, состоящее из двух утверждений Б и В, связанных словом «или» (А = Б или В).

  • Если утверждение А истинно — это значит, что либо утверждение Б истинно, либо утверждение В истинно, либо и Б, и В истинны одновременно).
  • Если утверждение А ложно — это значит, что утверждения Б и В одновременно ложны.

Пусть в задаче есть утверждение А, состоящее из двух утверждений Б и В, связанных словом «и» (А = Б и В).

  • Если утверждение А истинно — это значит, что утверждения Б и В одновременно истинны.
  • Если утверждение А ложно — это значит, что либо утверждение Б ложно, либо утверждение В ложно, либо и Б, и В ложны одновременно.

Задача 1.
Есть две комнаты, в каждой из которых находится тигр или принцесса. Возможно, что в обеих комнатах находится по тигру или по принцессе, но пустых комнат нет. На двери каждой комнаты висит табличка с утверждением, причем на табличке может  быть написана как правда, так и ложь. Таблички такие:

  1. Тигр находится по крайней мере в одной из комнат.
  2. Принцесса находится только в этой комнате.

Что можно сказать об обитателях каждой из комнат, если

  • а) обе таблички истинны,
  • б) обе таблички ложны,
  • в) первая табличка истинна, вторая ложна,
  • г) первая табличка ложна, вторая истинна?

Решение.
Обозначим принцессу буквой П, тигра буквой Т. Запись ПТ будет означать, что в 1-й комнате находится принцесса, а во 2-й комнате — тигр.

Табличка на 1-й комнате фактически утверждает, что тигр находится в 1-й комнате или тигр находится во 2-й комнате.

  • Если эта табличка говорит правду, то либо в 1-й комнате находится тигр, либо во 2-й комнате находится тигр, либо в обеих комнатах находятся тигры. Возможные варианты — ТП, ПТ, ТТ.
  • Если эта табличка лжет, то в 1-й комнате тигра нет и во 2-й комнате тигра нет, то есть в обеих комнатах находятся принцессы. Единственный вариант — ПП.

Табличка на 2-й комнате фактически утверждает, что принцесса находится во 2-й комнате и тигр находится в 1-й комнате.

  • Если эта табличка говорит правду, то в 1-й комнате находится тигр и во 2-й комнате находится принцесса. Единственный вариант — ТП.
  • Если эта табличка лжет, то либо в 1-й комнате тигра нет, либо во 2-й комнате принцессы нет, либо в 1-й комнате тигра нет и во 2-й комнате принцессы нет. Возможные варианты — ПТ, ПП, ТТ.

Мы разобрали, что означают утверждения на каждой из табличек по отдельности. Но у нас обе таблички должны означать одно и то же размещение принцесс и тигров по комнатам. И тут возможны разные ситуации в зависимости от правдивости табличек. Сделаем выводы на основе наших предыдущих рассуждений.

а) Если обе таблички говорят правду, то единственный вариант размещения по комнатам, соответствующий обеим табличкам, — это ТП (в 1-й комнате — тигр, во 2-й — принцесса).

б) Если обе таблички утверждают ложь, то единственный вариант размещения по комнатам, соответствующий обеим табличкам, — это ПП (в обеих комнатах принцессы).

в) Если первая табличка говорит правду, а вторая — ложь, то возможны два варианта размещения по комнатам, соответствующих обеим табличкам, — это ПТ и ТТ. То есть можно однозначно сказать, что во 2-й комнате находится тигр. А чтобы определить, кто находится в 1-й комнате, нужна дополнительная информация.

г) Ситуация, когда первая табличка утверждает ложь, а вторая — правду, невозможна, так как в этом случае утверждения табличек противоречат друг другу. Поэтому нет вариантов размещения по комнатам, соответствующих обеим табличкам.

Замечание.
При решении логических задач очень важно не только найти одно верное решение, но и доказать, почему другие варианты не подходят. Если неизвестно заранее, какие из утверждений задачи истинны, а какие ложны, то нужно действовать, как в приведенном выше примере: рассмотреть разные варианты истинных и ложных утверждений и выбрать те, которые не приводят к противоречию.

Задача 2.
Есть две комнаты, в каждой из которых находится тигр или принцесса. Возможно, что в обеих комнатах находится по тигру или по принцессе, но пустых комнат нет. На двери каждой комнаты висит табличка с утверждением. Таблички такие:

  1. В этой комнате принцессы нет.
  2. В обеих комнатах сидят тигры.

Известно, что на одной из табличек написана правда, на другой — ложь. В какой комнате принцесса?

Решение.

1 способ. От табличек — к размещению персонажей по комнатам.

Допустим, что на 1-й табличке написана ложь, а на второй — правда. Тогда в первой комнате есть принцесса, и в обеих комнатах сидят тигры. Этого быть не может.

Значит, на 1-й табличке написана правда, а на второй — ложь. Тогда в 1-й комнате принцессы нет, там сидит тигр. А во 2-й комнате находится принцесса (иначе, если там тигр, то 2-я табличка говорит правду).

Таким образом, принцесса находится во 2-й комнате.

2 способ. От размещения персонажей — к табличкам.

Рассмотрим все возможные варианты размещения персонажей по комнатам. Их всего 4: ПП, ТТ, ПТ, ТП.

Посмотрим, истинны или ложны будут утверждение табличек в каждом из этих случаев.

  • Если в обеих комнатах сидят принцессы (ПП), то 1-я табличка ложна, 2-я табличка ложна.
  • Если в обеих комнатах сидят тигры (ТТ), то 1-я табличка истинна, 2-я табличка истинна.
  • Если в 1-й комнате находится принцесса, а во второй тигр (ПТ), то 1-я табличка ложна, 2-я табличка ложна.
  • Если в 1-й комнате сидит тигр, а во второй принцесса (ТП), то 1-я табличка истинна, 2-я табличка ложна.

По условию задачи, одна из табличек истинна, а вторая ложна. Это условие выполняется только в случае, когда в 1-й комнате тигр, а во 2-й принцесса.

Ответ: во 2-й комнате.

Добавить комментарий