Геометрические опыты с бумагой.
На этом занятии мы будем решать задачи, связанные со складыванием и разрезанием бумажных фигур. Сначала все задачи можно решать практически, то есть вырезать, сгибать и разрезать фигуры из бумаги. Постепенно, при достаточной тренировке, можно научиться решать такие задачи в уме.
1. Сгибание.
В задачах на сгибание обычно требуется определить, какая фигура получится при сгибании данной фигуры. Сгибать фигуры можно:
- пополам,
- по указанной на фигуре линии сгиба.
Согнуть пополам — это значит, что при сгибании одна половина фигуры должна полностью наложиться на вторую половину фигуры. Заметим, что согнуть пополам можно только такие фигуры, которые имеют ось симметрии. При этом линия сгиба будет являться этой осью симметрии и разделит исходную фигуру на две равные части.
По указанной линии сгиба можно согнуть любую фигуру. В этом случае линия сгиба представляет собой отрезок прямой линии и обычно обозначается пунктиром. При таком сгибании может получиться другая фигура, но не обязательно являющаяся половиной исходной фигуры.
Задача 1.
Бумажный треугольник согнули по прямой линии 1 раз. Какая фигура могла получиться?
Решение.
В задаче не указано, как именно проходит линия сгиба. Поэтому рассмотрим все возможные варианты сгибов, при которых получаются разные типы фигур:
При таких сгибах получатся такие фигуры:
Подумайте, можно ли, согнув треугольник один раз, получить восьмиугольник? А фигуру больше чем с 8 углами? Почему?
Ответ: треугольник, четырёхугольник, пятиугольник, шестиугольник или семиугольник.
2. Разрезание.
В задачах на разрезание нужно обращать внимание на то, как именно нужно разрезать фигуру на части. Разрезать можно:
- по указанным линиям (не обязательно прямым),
- прямолинейными разрезами.
Вспомним, что прямолинейный разрез не может начаться или кончиться где-то в середине фигуры, прямолинейный разрез проходит через всю фигуру.
Задача 2.
Бумажный квадрат разрезали одним прямолинейным разрезом на две части. Части какой формы могли получиться?
Решение.
Рассмотрим все варианты разрезания, при которых получаются разные типы фигур:
Подумайте, можно ли при разрезании квадрата одним разрезом получить хотя бы один шестиугольник? А два пятиугольника? Почему?
Ответ: могли 2 треугольника, треугольник и четырёхугольник, треугольник и пятиугольник, 2 четырёхугольника.
3. Сгибание и разрезание.
Теперь мы будем сначала складывать фигуру, а затем разрезать. И стараться определить, сколько частей и какой формы получится, когда мы разогнем все части. В таких задачах важно понимать, где находится сгиб, а где край исходной фигуры.
Задача 3.
Квадратный лист бумаги сложили пополам, затем еще раз пополам, как показано на рисунке. Затем от получившегося квадрата отрезали два уголка по красным линиям. Сколько частей получилось? Сколько среди них треугольников?
Решение.
В месте отрезания одного из уголков находятся края исходного листа. Так как лист сложен вчетверо (в четыре слоя), то в этом месте будет отрезано 4 треугольника (на рисунке показаны синим цветом). В месте отрезания другого уголка находятся сгибы. Поэтому, когда мы разогнем отрезанную часть, получим квадрат (на рисунке показан зеленым цветом). Оставшаяся часть — это исходный квадрат с отрезанными уголками и вырезанным в центре квадратом (на рисунке показана голубым цветом):
Таким образом, получится 6 частей, в том числе 4 треугольных.
Ответ: 6 частей, 4 треугольника.