Взвешивание. Часть 2.
На занятии 7 мы узнали основные правила взвешивания. Сегодня вспомним эти правила, а также научимся решать с помощью весов задачи, в которых измеряется не только вес предметов.
1. Основные правила взвешивания.
Вспомним основные правила взвешивания, рассмотренные на занятии 7:
1. Если добавить на обе чаши или убрать с обеих чаш одинаковые по весу предметы, то положение весов не изменится (если весы были в равновесии, то в равновесии и останутся, если одна чаша перевешивала, то она же и будет перевешивать).
2. Если любой предмет на весах заменить на равный ему по весу предмет (или несколько предметов), то положение весов не изменится.
3. Из правил 1 и 2 следует, что если на одну чашу весов добавить (или убрать) один предмет, а на другую чашу — другой предмет, равный первому по весу, то положение весов не изменится:
4. Если удвоить грузы на обеих чашах весов, то положение весов не изменится. Если с обеих чаш весов убрать половину груза, то положение весов не изменится.
Замечание. Положение весов также не изменится, если грузы на обеих чашах утроить, удесятерить и вообще увеличить в любое число раз. Положение весов также не изменится, если на обеих чашах весов оставить треть, четверть и вообще любую часть от первоначального груза.
2. Используем гири.
На занятии 7 мы уже рассматривали, как используются гири в задачах на взвешивание. Решим еще одну такую задачу.
Задача 1.
Арбуз на 2 кг тяжелее дыни, а 3 дыни уравновешивают 2 арбуза. Сколько весит дыня? Сколько весит арбуз?
Решение.
Как изобразить с помощью весов условие «арбуз на 2 кг тяжелее дыни»?
Можно это сделать так:
Но в этом случае мы показали только, что арбуз тяжелее дыни, а на сколько — неизвестно.
Что значит «арбуз на 2 кг тяжелее дыни»? Это значит, чтобы дыня уравновесила арбуз, нужно к ней добавить 2 кг. Чтобы верно изобразить это условие, нужно использовать гирю 2 кг:
Таким образом, условие задачи выглядит так:
Теперь на вторых весах заменим каждый арбуз на дыню и гирю в 2 кг. Равновесие не нарушится:
Уберём с каждой чаши весов по 2 дыни, а 2 гири заменим на 1 гирю в 4 кг:
Поскольку дыня уравновешивает гирю в 4 кг, то вес дыни — 4 кг.
Поскольку арбуз на 2 кг тяжелее дыни, то он весит 4+2=6 кг.
Ответ: дыня весит 4 кг, арбуз весит 6 кг.
3. Взвешивать можно не только вес.
Если вам понятны картинки с весами и правила взвешивания, то можно применить эти правила и в других задачах. Для этого можно предположить, что у нас есть «волшебные» весы, которые измеряют не вес предметов, а, например, их стоимость, длительность, расстояние, количество и так далее. Рассмотрим пример задачи.
Задача 2.
Груша вдвое дороже яблока. Что дешевле — 7 яблок или 3 груши?
Решение.
Предположим, что у нас есть чашечные весы, измеряющие стоимость грузов: чашу весов перевешивает тот груз, который стоит дороже. Изобразим условие задачи на рисунке:
Добавим теперь на левую чашу весов 2 груши, а на правую — 4 яблока. Поскольку мы добавим одинаковые по стоимости грузы на обе чаши, весы останутся в равновесии:
Если теперь на правую чашу весов мы добавим еще 1 яблоко, то правая чаша перевесит:
Значит, 3 груши стоят дешевле, чем 7 яблок.
Ответ: 3 груши.
4. Решение уравнений с помощью весов.
Уравнения – это примеры, в которых некоторые числа обозначены знаками или буквами, то есть неизвестны.
Решить уравнение – значит найти эти неизвестные числа.
Неизвестные числа в уравнениях могут обозначаться по-разному: картинками, значками, буквами. Обычно одинаковые числа в уравнениях имеют одинаковое обозначение, а разные числа – разные обозначения. Но иногда и одинаковые числа могут обозначаться по-разному.
Пример.
Посмотрим, как можно решать уравнения с помощью весов.
Задача 3.
У Маши и Даши 8 кукол. У Маши на 2 куклы больше, чем у Даши. Сколько кукол у Маши? Сколько кукол у Даши?
Решение.
Обозначим количество кукол у Маши буквой М, а количество кукол у Даши буквой Д.
Условие задачи в этих обозначениях выглядит так:
М + Д = 8, М = Д + 2.
Получили два связанных уравнения. Чтобы решить задачу, нам нужно узнать, какие числа обозначены буквами М и Д, то есть решить эти уравнения.
Изобразим эти уравнения в виде «волшебных» весов, измеряющих количество кукол. Буквы М и Д — это некоторые «грузы», а числа 8 и 2 — это гири:
Заменим на первых весах груз М на равные ему по весу груз Д с гирей 2, а гирю 8 на гири 6 и 2:
Уберем с обеих чаш весов по гире 2:
Получили, что два груза Д весят 6, значит, груз Д весит 3. Тогда груз М весит 3+2=5.
Мы решили уравнения и получили, что Д=3, М=5, то есть у Даши 3 куклы, у Маши 5 кукол.
Ответ: у Маши 5 кукол, у Даши 3 куклы.
Задача 4.
В цветочном магазине 1 роза и 2 хризантемы стоят 90 рублей, а 2 розы и 1 хризантема стоит 120 рублей. Сколько стоит роза и сколько хризантема?
Решение.
Обозначим цену розы буквой Р, цену хризантемы буквой Х.
Нам нужно решить два связанных уравнения:
Р + Х + Х = 90, Р + Р + Х = 120.
Изобразим эти уравнения в виде весов:
По правилу 3 (см. в п. 1 этого занятия) мы можем добавить на левую чашу первых весов груз с левой чаши вторых весов, а на правую чашу первых весов — груз с правой чаши вторых весов. Положение весов не изменится:
По правилу 4 уменьшим грузы на обеих чашах в 3 раза, положение весов не изменится:
Теперь на первых весах заменим Грузы Р и Х на равную им гирю 70:
Получили, что груз Х с гирей 70 уравновешивается гирей 90. Это значит, что груз Х весит 20.
А так как грузы Р и Х вместе весят 70, то груз Р весит 70-20=50.
Мы решили уравнения и получили, что Р=50, Х=20, то есть роза стоит 50 рублей, хризантема — 20 рублей.
Ответ: роза стоит 50 руб., хризантема стоит 20 руб.