Развёртки.
1. Развёртки поверхностей фигур.
Многие люди, увлекающиеся поделками из бумаги, хорошо знакомы с развертками. Например, мы знаем, что если свернуть прямоугольный лист бумаги, то получится трубочка, а из половины круга получится конус.
Развёртка поверхности — это такая плоская фигура, из которой, если ее вырезать, свернуть или согнуть в нескольких местах, а затем склеить, получится эта поверхность.
На рисунке выше прямоугольник — это развёртка трубочки, а полукруг — это развёртка конуса.
На этом рисунке показаны развёртки поверхностей еще нескольких фигур:
Одна и та же фигура может иметь несколько разных развёрток. Например, на этом рисунке показаны две развёртки треугольной пирамиды:
В задачах этого занятия мы будем определять, какая развёртка получается из данной фигуры, и, наоборот, какая фигура получается из данной развёртки.
Задача 1.
Какая развёртка получится из такой фигуры?
Решение.
Как видно на рисунке, фигура состоит из пятиугольника и 5 треугольников.
Значит, и развёртка состоит из таких же частей.
Поэтому развертки b и c не могли быть получены из этой фигуры, а развертка a соответствует фигуре.
Ответ: развёртка а.
2. Развёртки куба.
Как мы знаем (см. занятие 8), куб — это многогранник, состоящий из 6 одинаковых квадратных граней. Грани, которые имеют общее ребро, называются соседними или смежными. Грани, которые не имеют общих рёбер, называются противоположными. У куба три пары противоположных граней: левая и правая, верхняя и нижняя, передняя и задняя.
Если бумажный куб разрезать по рёбрам так, что его можно будет разложить на плоскости, мы получим развёртку куба. Нетрудно догадаться, что развёртка куба состоит из 6 квадратов. Но не каждая фигура из 6 квадратов является развёрткой куба.
Посмотрите на рисунок. Из первой фигуры получится склеить кубик, а из второй нет.
У кубика всего 11 разверток:
Если потренироваться складывать кубики из разных развёрток, то можно заметить, что противоположные грани кубика на развёртке соответствуют квадратам, расположенным на одной линии через квадрат друг от друга. Например, на этой развертке одинаковым цветом закрашены квадраты, которые в кубике будут противоположными гранями:
Если в развёртке нет квадратов, расположенных на одной линии через квадрат друг от друга, то противоположные грани будут находиться на концах «зигзага»: или . Например, на этой развертке одинаковым цветом закрашены квадраты, которые в кубике будут противоположными гранями:
Для развития пространственного воображения важно научиться определять вид кубика по развёртке и, наоборот, вид развёртки по виду кубика.
Задача 2.
Из какого кубика могла получиться такая развертка?
Решение.
Из кубика 2 такая развёртка получиться не могла, так как в кубике оранжевая и красная грани соседние, а на развертке противоположные.
Из кубика 1 такая развёртка тоже получиться не могла. Рассмотрим вершину кубика и развертки, общую для синей, красной и желтой граней. Если мы будем двигаться на кубике вокруг этой вершины по часовой стрелке, то грани пройдем в порядке красная-синяя-желтая. А на развертке такой порядок возможен только при движении против часовой стрелки вокруг вершины.
Кубики 3 и 4 друг от друга отличаются порядком расположения граней при обходе вокруг общей вершины. При движении по часовой стрелке для кубика 3 порядок будет зелёная-оранжевая-жёлтая, а для кубика 4 — зелёная-жёлтая-оранжевая.
А в каком порядке эти грани располагаются на развёртке? Тут не так просто определить, ведь на развёртке у этих граней нет общей вершины. Попробуем преобразовать развёртку так, чтобы расположение граней в кубике не изменилось. Можно заметить, что оранжевая грань развертки при склейке будет иметь противоположные общие ребра с голубой гранью и с желтой гранью. Поэтому мы можем мысленно «отрезать» оранжевую грань от голубой и «приклеить» ее к желтой с противоположной стороны. А зеленую грань мы можем «отрезать» по верхнему ребру от красной грани и «приклеить» по левому ребру к желтой грани. Получится развёртка точно для такого же кубика, что и начальная развёртка:
Теперь по этой развертке мы можем определить порядок желтой, оранжевой и зеленой граней кубика. В развертке при обходе вокруг общей вершины по часовой стрелке порядок будет зелёная-оранжевая-жёлтая. Значит, эта развертка получена из кубика 3, поскольку в нем точно такой же порядок граней.
Замечание 1.
Конечно, мы видим только три грани каждого кубика. Возможно, что ни из одного из них не могла получиться эта развёртка. Но по имеющимся рисункам мы можем сделать вывод о том, что если и может получиться такая развёртка, то только из кубика 3.
Замечание 2.
Если у вас получается мысленно представить кубик, который получится из развёртки, то можно не преобразовывать развёртку и не использовать правило обхода граней вокруг вершины.
Ответ: из кубика 3.